Serie 36

Aufgabe 11

431. Wertungsaufgabe

„Nach so vielen Geometrieaufgaben ist es an Zeit. wieder mal nur mit Zahlen zu hantieren“, meinte Mike. „Aber klar doch, hier eine Aufgabe, die in einem alten Rechenbuch als Gedicht formuliert ist.“ sagte Lisa.
Ein Junger Hirte ließ mit Freuden
1008 Schafe weiden,
bis dass der letzte Strahl
entwich aus seinem grünen Tal
und grauer Abend war geworden.
Jetzt führt er sie in 12 Horden,
doch so, dass jegliche 2 mehr
enthielt, als das nächstvor'ge Heer.
Sag' wie viel in die erste kommen
und jede andere aufgenommen?
3 blaue Punkte
Nicht als Gedicht, aber trotzdem ein Rätsel:
Eine vierstellige Dezimalzahl der Form ABCD – alle Ziffern also verschieden – ist gesucht. Benutzt man diese Ziffern, so sind ABC, ACB, BCA, AC und B alle samt Quadratzahlen. Wie heißt die gesuchte Zahl ABCD? 3 rote Punkte. Für den Nachweis, dass es nur eine solche Zahl oder aber dass es weitere Lösungen gibt, erhält man noch einmal 3 rote Punkte.

Termin der Abgabe 05.06. 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.06.2014. Deadline for solution is the 5th. June 2014.

431
“Dopo tanti esercizi di geometria, ora vorrei lavorare di nuovo solo con i numeri”, disse Mike. “Certo, eccoti un esercizio che in forma di una poesia si trova in un vecchio libro di aritmetica”, disse Lisa.

Un giovane pastore fece pascolare con gioia 1008 pecore,
fino a che l´ultimo raggio scampo` dalla sua valle verde
e scese la grigia sera.
Ora le conduce in 12 orde,
ma cosi` che una aveva 2 in piu` dell´orda avanti a lei.
Di´ quante sono entrate nella prima
e quante ne hanno prese le restanti orde?
3 punti blu.
Non in forma di una poesia, ma lo stesso un indovinello:
Cercasi un numero decimale di quattro cifre con la forma ABCD – quindi tutte cifre diverse. Se si usano questi numeri, ABC, ACB, BCA, AC e B sono tutti quanti numeri quadrati. Qual´e` il numero cercato ABCD? 3 punti rossi. Per la prova, che esiste solo un tale numero, oppure che esistono piu` soluzioni vengono assegnati ulteriormente 3 punti rossi.

431
“After that many geometrical problems it's time to do something with numbers only”, Mike said.
“Why not, here is a problem from an old arithmetic book, put in rhyme”, Lisa said.

A shepherd young on a hillside steep
let graze one thousand-eight of sheep,
until the sun's last warming ray
to grey cool evening gave way.
Twelve flocks he drives to the valley floor,
in each of them he counts two more
than in the herd that went before.
How many did the first flock hold,
and the next, I need be told. - 3 blue points

Not a poem but still a puzzle:
We are looking for a four digit decimal number of the form ABCD – all digits different in other words. With these figures ABC, ACB, BCA, AC an B are all square numbers. What's the number? - 3 red points
Show that there is only one such number or – alternatively show that there are more – another 3 red points.

Lösung/solution/soluzione:
In der Herde sind 73 + 75 + 77 + ... Tiere. Das lässt sich mittels Tabellenkalkulation schön testen oder aber mittels Gleichung x + (x+2) + (x+4) + ... = 1008
rot:
B kann 0, 1, 4 oder 9 sein. (B-Quadratzahl)
AC kann 16, 25, 36, 49, 64, 81 sein.
Nun wird mit den den dreistelligen Quadratzahlen verglichen. Wegen der Verschiedenheit der Ziffern sind
169, 196, 256, 289, 324, 361, 529, 576, 625, 729, 784, 841, 961 nach dem Vertauschen der Ziffern müssen es Quadratzahlen bleiben.Das trifft nur für 169, 196 und 961 zu. Damit bleibt von den zweistelligen Zaheln AC nur die 16 und somit für ABC die 196.
196D. Da es über D keine weiteren Informationen gibt, kann D 0, 2, 3, 4, 5, 7 oder 8 sein.
(Ergänzt man die Aufgabe so, dass CD auch noch eine Quadratzahl sein soll, dann gibt es nur die eine Lösung 1964.)