Serie 36

Aufgabe 3

423. Wertungsaufgabe

„Ach, sitzt du wieder mal vor einem (rechtwinkligen) Koordinatensystem?“, fragte Mike. „Das siehst du doch", gab Bernd zurück. „Ich trage die Punkte A (-1; -1) und B (4; 4) ein und soll jetzt zum Einen die zwei Punkte durch eine Strecke verbinden, das ist einfach, aber auch durch eine nach oben offene Normalparabel.“
Wie lang ist die Strecke von A nach B? (Ermittlung durch Abmessen 2 blaue Punkte, wird gerechnet gibt es vier blaue Punkte.) Wie lang ist der Parabelabschnitt von A nach B? (5 rote Punkte)
Tipp zu rot. Wenn die Parabel die Gleichung  y = x²  hat, dann ist der Parabelbogen b von x = 0 bis x = a (a>0) so ausrechenbar:
{tex}b=\frac{a}{2}\cdot \sqrt {1 + 4a^2} + \frac{1}{4} \cdot ln (2a +  \sqrt {1 + 4a^2}){/tex}

Termin der Abgabe 20.03.2014. Deadline for solution is the 20th. March 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 20.03.2014.

“Ah, che ti stai occupando di nuovo di questo sistema di coordinate rettangolare?”, chiese Mike. “Si, lo vedi pure tu”, rispose Bernd. “Riporto i punti A (-1;-1) e B (4;4) nel sistema e devo unire da una parte i due punti con un segmento, che è facile, ma anche con una parabola normale aperta verso l´alto.”
Quant´è lungo il segmento dal punto A al punto B? (accertamento tramite misurazione, 2 punti blu, se si calcola quattro punti blu). Quant´è lunga la parte della parabola da A a B? (5 punti rossi).

Suggerimento per il rosso. Se la parabola ha l´equazione y=x², allora l´arco della parabola b di x=0 fino a x=a(a>0) è calcolabile a tal modo:
{tex}b=\frac{a}{2}\cdot \sqrt {1 + 4a^2} + \frac{1}{4} \cdot ln (2a +  \sqrt {1 + 4a^2}){/tex}

“Are you sitting in front of a (rectangular) coordinate system again?”, Mike asked.
“See for yourself”, Bernd replied. “I mark points A(-1 ; -1) and B (4 ; 4) and now I have to do two things. First, I have to connect the two points by a straight line, which is trivial. Secondly, I have to connect them by a basic parabola that opens to the top.”
How long is the line segment AB? Length by measuring – 2 blue points, length by calculating – 4 blue points
How long is the parabola segment from A to B – 5 red points
Hint: If the parabola's equation is y = x² you may calculate the length of its arc from x=0 to x=a (a>0) using this formula:
{tex}b=\frac{a}{2}\cdot \sqrt {1 + 4a^2} + \frac{1}{4} \cdot ln (2a +  \sqrt {1 + 4a^2}){/tex}

Lösung/solution:

blau. Das lässt sich am elegantesten mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die Punkte A, und B bilden mit dem Punkt C (4; -1) ein rechtwinkliges Dreick mit den Katheten AC = 5 cm und BC = 5 cm. Aus c² = a² + b² folgt c mit 7,07 cm.

rot. Die Normalform der Parabel lautet y=²+px+q
Punkt A --> -1 = (-1)² -1p +q
Punkt B --> 4 = 4² + 4p + q

Die Subtraktion beider Gleichungen führt auf -5 = -15 -5p --> p = -2 und mit 4 = 16 - 4*2 +q erhält man q = -4. Also die Parabel hat die Gleichung y = x² - 2x -4. In der Scheitelpunktsform führt das auf y = (x-1)² -5.
Diese Normalparabel ist bogenlängentechnisch genau so händelbar wie y =x².
Für den rechten Parabelast setze ich in die obige Gleichung eine 3 ein und für den linken Ast setze ich 2 ein. Das ergibt 9,474.. + 4,6467 ... = 14,39387 ...