Serie 49

Hier werden die Aufgaben und Lösungen der Aufgaben 577 bis 588 veröffentlicht.

Serie 49

Aufgabe 1

577. Wertungsaufgabe

Logikaufgabe

„Die neue Serie beginnt und wir müssen bestimmt wieder rätseln, wer heißt wie und wie alt sind die Leute und so weiter“, meinte Maria. „Nein, heute ist ein Spiel mit 5 Töpfen, aber schon irgendwie logisch“, erwiderte Bernd.
Die Töpfe haben die Nummern 1 bis 5. Bernd legt in einen der Töpfe eine Kugel, dann werden alle Töpfe verschlossen und Bernd legt vor jeden Topf einen Zettel, aber nur auf einem der Zettel steht die wahre Information. Topf 1: → Hier ist die Kugel drin. Topf 2 → Hier ist die Kugel nicht drin. Topf 3 → Die Kugel ist in Topf 4. Topf 4 → Die Kugel ist in Topf 5. Topf 5 → Hier ist die Kugel nicht. Wo ist die Kugel 4 blaue Punkte.
In der zweiten Runde legt Bernd in jeden der Töpfe genau eine Kugel, die ebenfalls mit 1 bis 5 nummeriert sind. Deckel zu. Und neue Zettel, diesmal ist es genau ein Zettel, der falsch ist.
Topf 1: → Hier ist die Kugel 2 drin. Topf 2 → Hier ist die Kugel 3 oder Kugel 5 drin. Topf 3 → Die Kugel hat die Nummer 4. Topf 4 → Die Kugel 1, Kugel 3 oder Kugel 5 drin. Topf 5 → Hier ist die Kugel 1 drin. Wo ist denn nun Kugel 1 drin? 4 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. Enthalten sind die Zahlen: 55, 66. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 13.09.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.09.2018. Deadline for solution is the 13th. September 2018. Date limite pour la solution 13.09.2018. Resoluciones hasta el 13.09.2018. Beadási határidő: 2018. 09. 13.

hun

Logikai feladat

Kezdődik az új sorozat és biztos megint találgathatjuk, hogy kit hogy hívnak, hány éves és így tovább. – mondta Mária. – Nem, a mai játék 5 edényről szól, de egészen logikus – válaszolta Bernd.
Az edények 1-től 5-ig számozottak. Bernd az egyik edénybe egy golyót tesz, aztán minden edényt lefed és minden edény elé tesz egy cetlit, de csak egy cetlin van a való igazság. 1-es edény: itt van a golyó bent. 2-es edény: itt nincs a golyó. 3-as edény: a golyó a 4-es edényben van. 4-es edény: a golyó az 5-ös edényben van. 5-ös edény: itt nincs golyó. Melyik edényben találjuk a golyót? 4 kék pont
A második körben Bernd minden edénybe tesz egy ugyancsak 1-től 5-ig megszámozott golyót. Becsukja a fedelüket és feliratozza, ezúttal azonban csak 1 felirat hamis, a többi igaz.
1-es edény: itt van a 2-es golyó. 2-es edény: itt van a 3-as vagy az 5-ös golyó. 3-as edény: a 4-es számú golyó van itt. 4-es edény: az 1-es, 3-as vagy az 5-ös golyó van itt. 5-ös edény: itt van az 1-es golyó. Hol van hát az 1-es golyó? 4 piros pont

Beadási határidő: 2018. 09. 13.

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. A számok tartalmazzák a 55-et és a 66-at. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Exercice de logique

« C’est le début de la nouvelle série et je suis sûre que nous devrons à nouveau deviner, qui s’appelle comment, quel âge ont les gens, etc. », a déclaré Maria. "Non, aujourd'hui c'est un jeu avec 5 casseroles, mais en quelque sorte logique", a répondu Bernd.
Les casseroles sont numérotées de 1 à 5. Bernd place une boule dans l'une des casseroles, puis les refermes et place un papier devant chaque casserole, mais seulement sur un des papiers se trouve la vraie information. Casserole 1: → La boule est ici. Casserole 2 → La boule n’est pas ici. Casserole 3 → La boule est dans la casserole 4. Pot 4 → La boule est dans la casserole 5. Pot 5 → La boule n’est pas ici. Où est la boule pour 4 points bleus.
Au deuxième tour, Bernd place exactement une boule dans chacun des casseroles, également numérotés de 1 à 5 et les referme. Place des papiers devant mais cette fois, seulement un des papiers et faux.
Casserole 1: → Ici est la boule 2. Casserole 2 → Ici soit la boule 3 ou la boule 5. Casserole 3 → La boule a le numéro 4. Casserole 4 → Ici la boule 1, la boule 3 ou la boule 5. Casserole 5 → Ici la boule 1. Où se trouve la boule 1? 4 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. Inclus sont les nombres: 55, 66. ©HRGauern[at]@t-online.de

 en
“A new series is about to begin and for sure we’ll have to guess who is who and how old and so on”, Maria said.
“No, today we have a game with 5 drawing pots, but it’s still somehow logical”, Bernd replied.
The pots are numbered from 1 to 5. Bernd puts a ball in one of the pots and closes all of them. Then Bernd places a note in front of each pot. However, only one of the notes is true.
pot 1: → The ball is inside this pot.
pot 2: → The ball is not inside this pot.
pot 3: → The ball is inside pot 4.
pot 4: → The ball is inside pot 5.
pot 5: → The ball is not inside this pot.
Where will you find the ball? - 4 blue points
In a second round Bernd puts exactly one ball inside each pot, each of the balls numbered from 1 to 5, too. He also places a note in front of each pot. This time exactly one note is wrong.
pot 1: → This is where ball number 2 is.
pot 2: → This is where you’ll find either ball 3 or ball 5.
pot 3: → The ball inside is number 4.
pot 4: → The ball inside is either number 1, number 3 or number 5.
pot 5: → The ball inside is number 1.
Where is ball number 1? - 4 red points.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits. Only this numbers are present: 55, 66. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp
Buscamos un traductor/ una traductora (alemán-castellano) para mostrar semanalmente el problema. Übersetzer deutsch --> spanisch gesucht.

Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:

Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. Incluidos son los siguientes números: 55, 66. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

 Stiamo cercando un traduttore dal tedesco all'italiano per il nostro problema matematico settimanale. Übersetzer deutsch --> italienisch gesucht.

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.

Sono compresi i numeri: 55, 66 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat: 
Lösung von Hirvi -> pdf <-- und Alexander W., danke.

Blau:

Wenn auf dem Zettel vor Topf 1, 2 oder 3 die Wahrheit stünde, gäbe es folgenden Widerspruch:
Topf 4: Die Kugel ist nicht in Topf 5.
Topf 5: Hier ist die Kugel drin.

Wenn auf dem Zettel vor Topf 4 die Wahrheit stünde, gäbe es folgenden Widerspruch:
Topf 2: Hier ist die Kugel drin.
Topf 4: Die Kugel ist in Topf 5.

Nur wenn auf dem Zettel vor Topf 5 die Wahrheit steht, gibt es keinen Widerspruch:
Topf 1: Hier ist die Kugel nicht drin.
Topf 2: Hier ist die Kugel drin.
Topf 3: Die Kugel ist nicht in Topf 4.
Topf 4: Die Kugel ist nicht in Topf 5.
Topf 5: Hier ist die Kugel nicht drin.

Die Kugel ist in Topf 2.

Rot:

Wenn der Zettel vor Topf 1 falsch wäre, gäbe es keinen Topf für Kugel 2:
Topf 1: Kugel 1, 3, 4 oder 5
Topf 2: Kugel 3 oder 5
Topf 3: Kugel 4
Topf 4: Kugel 1, 3 oder 5
Topf 5: Kugel 1

Wenn der Zettel vor Topf 2 falsch wäre, gäbe es keinen eindeutigen Topf für Kugel 2:
Topf 1: Kugel 2
Topf 2: Kugel 1, 2 oder 4 => Kugel 2
Topf 3: Kugel 4
Topf 4: Kugel 1, 3 oder 5
Topf 5: Kugel 1

Wenn der Zettel vor Topf 3 falsch wäre, gäbe es keinen Topf für Kugel 4:
Topf 1: Kugel 2
Topf 2: Kugel 3 oder 5
Topf 3: Kugel 1, 2, 3 oder 5
Topf 4: Kugel 1, 3 oder 5
Topf 5: Kugel 1

Wenn der Zettel vor Topf 4 falsch wäre, gäbe es keine eindeutigen Töpfe für die Kugeln 2 und 4:
Topf 1: Kugel 2
Topf 2: Kugel 3 oder 5
Topf 3: Kugel 4
Topf 4: Kugel 2 oder 4
Topf 5: Kugel 1

Nur wenn der Zettel vor Topf 5 falsch ist, gibt es keinen Widerspruch:
Topf 1: Kugel 2
Topf 2: Kugel 3 oder 5
Topf 3: Kugel 4
Topf 4: Kugel 1, 3 oder 5 => 1
Topf 5: Kugel 2, 3, 4 oder 5 => 3 oder 5

Die Kugel 1 ist in Topf 4.

Zusatz:

376 + 605 = 981

  -       :       -

 66 *   11 = 726

  =      =      =

310 -  55 = 255

Aufgabe 2

578.Wertungsaufgabe

Bernd schaut über die Schulter seiner Schwester und liest: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn …. „Die vier Sätze zur Kongruenz von Dreiecken kennt doch jeder“, sagt Bernd. „Das stimmt schon, aber beim genauen Formulieren passieren doch immer wieder Fehler und vielleicht gibt es ja noch mehr Kongruenzsätze.“
Von einem Dreieck ABC ist bekannt, dass ein Winkel 90° und ein anderer Winkel 60° groß ist. Eine der Seiten des Dreiecks sei 5 cm lang. Führt die so beschriebene Auswahl von gegebenen Werten immer auf zueinander kongruente Dreiecke? (Begründete Antwort durch Konstruktion oder Berechnung 4 blaue Punkte.
Maria glaubt, wenn zwei Dreiecke in Umfang und Flächeninhalt übereinstimmen, dass diese Dreiecke auch kongruent zueinander sind? Hat sie recht? 8 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. Enthalten sind die Zahlen: 567, 418. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 20.09.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 20.09.2018. Deadline for solution is the 20th. September 2018. Date limite pour la solution 20.09.2018. Resoluciones hasta el 20.09.2018. Beadási határidő 2018. 09.20

hun

Bernd átnézett a huga válla felett és ezt olvasta: két háromszög hasonló, ha.... - Hiszen a háromszögek egyezésének négy tételét mindenki ismeri - kiáltott fel.
-Ez igaz, de a pontos megfogalnazásnál előfordulhatnak hibák és talán több is van belőlük. -
Egy adott A, B és C csúcsú háromszögnél tudjuk, hogy az egyik szög 90, a másik 60 °-os. A háromszög egyik oldala 5 cm hosszú. Ezen leírásnak megfelelő háromszögek egymással mindig megegyeznek? ( Szerkesztéssel vagy számolással alátámasztott válasz 4 kék pont)
Mária szerint, ha két háromszög területe és kerülete egyforma, akkor a háromszögek hasonlóak. Igaza van? (8 piros pont)

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. A számok tartalmazzák a 567-et és a 418-at. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Bernd regarde par-dessus l'épaule de sa sœur et lit: Deux triangles sont congruent si .... "Tout le monde connaît les quatre phrases sur la congruence des triangles", explique Bernd. "C'est vrai, mais quand il s'agit de la formulation exacte, des erreurs se produisent encore et encore et peut-être qu'il y en a plus."
D'un triangle ABC est connu qu'un angle est de 90 ° et un autre angle de 60 °. L'un des côtés du triangle mesure 5 cm de long. La sélection de valeurs données ainsi décrites conduit-elle toujours à des triangles congrus? (Réponse raisonnée par construction ou calcul 4 points bleus.
Maria croit que si deux triangles s'accordent en circonférence et en surface, que ces triangles sont également congruents les uns avec les autres? Est-ce qu'elle a raison? 8 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. Inclus sont les nombres: 567, 418. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

Bernd looks over his sister’s shoulder and reads: Two triangles are congruent if … .
“Anyone knows the four solutions for triangles”, Bernd says.
“This may be so, but everyone makes mistakes when spelling them out and, who knows, maybe there are more.”
In triangle ABC let one angle be 90° and another one 60°. One of the sides is 5cm. Is this information enough to solve the triangle? (Answer plus construction or calculation – 4 blue points)
Maria thinks that two triangles that are equal in area and perimeter are congruent, too. Is she right? - 8 red points
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits. Only this numbers are present: 567,418

sp
Buscamos un traductor/ una traductora (alemán-castellano) para mostrar semanalmente el problema. Übersetzer deutsch --> spanisch gesucht.

Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:

Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. Incluidos son los siguientes números: 567, 418. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

Stiamo cercando un traduttore dal tedesco all'italiano per il nostro problema matematico settimanale. Übersetzer deutsch --> italienisch gesucht.

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.

Sono compresi i numeri: 567, 418 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Ich habe gelernt, dass in Österreich, die Kongruenzsätze strenger ausgelegt werden als in Deutschland. Die Aufgabe war Anregung für eine mathematische Miniatur --> pdf <-- Noch mehr von den Miniaturen --> hier <--, danke an den Leser der Wochenaufgaben Hans Walser.
Musterlösungen für die Aufgabe von Hirvi --> pdf <-- und Paulchen --> pdf <--, danke.

Aufgabe 3

579.Wertungsaufgabe

„Das ist ein Ausdruck, der eine schöne Struktur hat, aber kompliziert aussieht“, meine Bernd zu seinem Opa. „Da hast du recht, aber es gibt viele Paare natürlicher Zahlen (x; y), die diese Gleichung erfüllen.“

Für y = 2 findet man mit etwas rechnen, das passende x ganz schnell. 3 blaue Punkte (Rechenweg bzw. Überlegung notieren)
Wie lassen sich allgemein die Paare (x; y) berechnen? 8 rote Punkte.

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 27.09.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 27.09.2018. Deadline for solution is the 27th. September 2018. Date limite pour la solution 27.09.2018. Resoluciones hasta el 27.09.2018. Beadási határidő 2018.09.27

hun

-Ez aztán a szép képlet, ami bonyolultnak tűnik – mondta Bernd a nagyapjának. – Igazad van, de több természetes szám is van, amik az egyenletbe illenek.

Ha y=2, mennyi az x? (2 kék pont, a számítás lépéseivel vagy gondolatmenetével)
Hogyan lehet általánosságban a számpárokat (x, y) kiszámolni? (8 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"C'est une expression qui a une structure agréable, mais qui a l'air compliquée", a déclaré Bernd à son grand-père. "Tu as raison, mais il y a beaucoup de paires de nombres naturels (x; y) qui remplissent cette équation."

Pour y = 2, on trouve rapidement le x correspondant avec un peu de calcul. 3 points bleus (notez le calcul ou la réflexion)
Comment les paires (x; y) peuvent-elles être calculées en général? 8 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“This is an equation that has a beautiful structure but looks complicated”, Bernd tells his granddad.
“You are right, but there are a lot of pairs of positive integers (x, y) that solve this equation.”

For y = 2 it is easy to find the matching x with a bit of calculating. - 3 blue points
How can you calculate pairs (x; y) in general? - 8 red points

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits.

sp:

„Esto es una expresión que tiene una estructura bonita, pero muy complicada a la vez“, le dice Bernd a su abuelo. „Tienes razón, pero hay muchas parejas de números naturales (x; y) que satisfacen la ecuación.“

Aceptando y = 2 se encuentra el resultado para x con poco esfuerzo de calculación. 3 puntos azules (anotar calculación)
Cómo se pueden calcular las parejas (x; y) generalmente? 8 puntos rojos
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

Stiamo cercando un traduttore dal tedesco all'italiano per il nostro problema matematico settimanale. Übersetzer deutsch --> italienisch gesucht.

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Eine schöne, knappe Darstellung der Lösung von Hans, danke. --> pdf <--

Und noch die Lösung von Reinhold M., die für y=3n+2 nimmt, bei Hans 3n -1, beides möglich:
für z:= DritteWurzel(Wurzel(x) - y) folgt
 1 + z = DritteWurzel(z^3 + 2 y).
Das gilt gdw. (kubieren - umkehrbar)
 z^3 + 2 y = 1 + 3 z + 3 z^2 + z^3
und das gdw.
 z^2 + z + 1/3 (1 - 2 y) = 0
mit den Lösungen
 z = - 1/2 +- Wurzel(1/4 - 1/3 (1 - 2 y))
   = - 1/2 ( 1 -+ 1/3 Wurzel(3) Wurzel(8 y - 1) ).
Damit folgt
 z^3 = Wurzel(x) - y
     = - 1/8 ( 1 -+ Wurzel(3) Wurzel(8 y - 1) + (8 y - 1) -+ 1/9 Wurzel(3) Wurzel(8 y - 1) (8 y - 1) )
     = - y +- 1/9 Wurzel(3) Wurzel(8 y - 1) (y + 1).
Damit folgt weiter
 x = ( z^3 + y )^2
   = 1/27 (8 y - 1) (y + 1)^2
   = 1/27 (8 y^3 + 15 y ^2 + 6 y - 1)
   = 1/27 (2 y - 1)^3 + y^2.
Folglich muss (2 y - 1)^3 durch 27 und also (2 y - 1) durch 3 teilbar sein, wenn x und y ganze Zahlen sind, also
 2 y ≡ 1 mod 3,
woraus
 y ≡ 2 mod 3
folgt. Es gibt im Lösungsfall also eine ganze Zahl n mit
 (1) y = 3 n + 2 (1).
Damit folgt für x
 (2) x = 1/27 (6 n + 3)^3 + (3 n + 2)^2
       = ( 8 n^3 + 12 n^2 + 6 n + 1 ) + ( 9 n^2 + 12 n + 4 )
       = 8 n^3 + 21 n^2 + 18 n + 5.
Wir wissen also jetzt: für jedes Lösungspaar gibt es eine ganze Zahl n mit (1), (2).
Gibt es aber nun noch weitere Bedingungen, die n erfüllen muss, damit tatsächlich eine Lösung in natürlichen Zahlen herauskommt?
Zunächst folgt aus (1) für y >= 0
 n >= 0,
und dann ist wegen (2) auch stets x >= 0
- und für n = 0 erhalten wir (endlich) die "blaue Lösung" y = 2, x = 5.
Weiter gilt stets
 x > y^2,
also für obiges z
 z > 0,
d.h. wir müssen die positive z-Lösung
 z := 1/2 ( 1/3 Wurzel(3) Wurzel(8 y - 1) - 1 )
nehmen. Damit sind aber alle Rechenschritte von unten nach oben exakt umkehrbar.
Die Lösungsmenge wird genau durch
 x = 8 n^3 + 21 n^2 + 18 n + 5,
 y = 3 n + 2,
 n >= 0 ganz bestimmt.

Beim Symbolrätsel hatte ich etwas Schwierigkeiten, die Symbole eindeutig zuzuordnen - es können ja höchstens 10 verschiedene sein, und mit tatsächlich 10 (gleich nur links oben der Zehner und links unten der Einer sowie der Mittelpunkt und der Einer rechts unten) geht es nicht auf. Also habe ich dann angenommen, dass nur die Fabrikate das identifizierende Merkmal sein sollen:
 AB / C =  D
  -   *    +
  A + C =  E
  =   =    =
 AA - F = GC.
Dann folgt nacheinander
 G = 1 (3. Spalte),
 A = 2 (3. Zeile),
 B = 4 (1. Spalte),
 C = 3 und D = 8 (1. Zeile mit 2. Spalte),
 F = 9 (2. Spalte oder 3. Zeile),
 E = 5 (2. Zeile oder 3. Spalte).
Damit ist die Lösung also
 24 / 3 =  8
  -   *    +
  2 + 3 =  5
  =   =    =
 22 - 9 = 13.

Aufgabe 4

580.Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, da hast du ja eine komplizierte Konstruktion gemacht, wenn ich mir das rechte Bild anschaue“, meine Lisa. „Das stimmt, aber schau mal die Vorstufe – das linke Bild an.“ Das berühmte 3 – 4 – 5 (1 Kästchen = 1cm) rechtwinklige Dreieck ABC. D, E, F sind die Mittelpunkte der Seiten auf denen sie liegen. Für 6 blaue Punkte ist zu zeigen, dass die Dreiecke, dass die Dreiecke ABG, BCG und CAG flächengleich sind. Der rote Kreis – rechtes Bild – geht durch die Umkreismittelpunkte der Dreiecke AGD, DBG, BEG, CGE, CFG und AGF. Für die Berechnung des Flächeninhaltes des roten Kreises gibt es 6 rote Punkte.

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. Enthalten sind die Zahlen: 50, 30. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 04.10.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.10.2018. Deadline for solution is the 4th. October 2018. Date limite pour la solution 04.10.2018. Resoluciones hasta el 04.10.2018. Beadási határidő 2018.10.04

hun

- Szia, Mike, jó bonyolult szerkesztést készítettél, ha a jobb oldali ábrát nézem – mondta Lisa. - Ez igaz, de nézd meg az előzményt is a bal képen.
Az ismert 3-4-5 (1 négyzet 1 cm) jobbszögű háromszög ABC. D, E, F az oldalak középpontjai. 6 kék pontért bizonyítsa be, hogy a ABG, BCG és CAG háromszög területe egyenlő.
A piros kör – jobb oldali ábra – átmegy a AGD, DBG, BEG, CGE, CFG és AGF háromszögek kerületének középpontján. A piros kör felületének kiszámításáért 6 piros pont jár.

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. A számok tartalmazzák a 50-et és a 30-at. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Salut Mike, t’as fait une construction assez compliquée, quand je regarde l’image de droite. ", dit Lisa. "C'est vrai, mais regardes l'étape préliminaire – l’image de gauche." Le fameux triangle rectangle ABC 3 - 4 - 5 (1 boîte = 1cm). D, E, F sont les centres des côtes sur lesquelles ils se trouvent. Pour 6 points bleus, on doit montrer que les triangles sont les mêmes que les triangles ABG, BCG et CAG. Le cercle rouge - image de droite - traverse les centres de périmètre des triangles AGD, DBG, BEG, CGE, CFG et AGF. Pour le calcul de la surface du cercle rouge, il y aura 6 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. Inclus sont les nombres: 30, 50. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“Hi Mike, this really is a complicated construction on your second picture”, Lisa remarked.
“It is, but have a look at the first stage – the first picture.”
The famous 3 – 4 – 5 (1 square = 1cm) right triangle ABC. D, E, F are the centers of their vertices. Show that triangles ABG, BCG and CAG are equal in area. - 6 blue points
The red circle - second picture – passes through the centers of the circumcircles of triangles AGD, DBG, BEG, CGE, CFG and AGF. Calculating the area of the red circle will get you 6 red points.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits. Only this numbers are present: 30, 50.

sp

„Hola Mike, echando un vistazo al imagen a la derecha noto una construcción complicada“, dice Lisa. „Tienes razón, pero ve la fase previa que encuentras a la izquierda.“ El famoso triángulo rectangular 3—4—5 (una cuadrícula = 1cm) ABC. Los puntos D, E, F son los puntos centrales de los lados a los cuales se agarran. Se recibe 6 puntos azules demostrando que los triángulos ABG, BCG y CBG tienen la misma área. El círculo rojo — imagen a la derecha — cruza los puntos centrales de los radios de los triángulos AGD, DBG, BEG, CGE, CFG y AGF. Para el cálculo de la área del círculo rojo se recibe 6 puntos rojos.

Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:

Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. Incluidos son los siguientes números: 30,50. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Ciao Mike, se vedo il disegno destro, hai fatto una costruzione proprio complicata”, diceva Lisa. “È vero, ma guarda lo stadio iniziale, cioé il disegno sinistro.”
Il famoso 3-4-5-triangolo rettangolare ABC (un quadretto = 1cm). D, E, F sono I centri dei lati sui cui sono situati. Per 6 punti blu bisogna dimostrare che i triangoli ABG, BCG e CAG abbiano la stessa superficie.
Il cerchio rosso – disegno destro – passa per i centri dei circondari dei triangoli AGD, DBG, BEG, CGE, CFG e AGF. Per la calcolazione della superficie del cerchio rosso si guadagnano 6 punti rossi.

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.

Sono compresi i numeri: 30,50 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Maximilian, danke. --> pdf <--

Aufgabe 5

581.Wertungsaufgabe

„Das Bild ist einfacher als das der letzten Aufgabe“, sagte Bernd zu Mike. „Das stimmt.“
Der Durchmesser des Kreises mit dem Mittelpunkt sei = AB = 8 cm. Der Winkel DMB ist ein rechter Winkel. Die Lage des Kreispunktes C wird durch die Größe des Winkels Gamma (0° < Gamma < 180°) bestimmt.
Wie muss die Lage von C gewählt werden, damit das rote Dreieck gleichseitig wird? Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt dieses roten Dreiecks? (5 blaue Punkte).
Wie muss die Lage von C gewählt werden, damit Dreieck EBC und Dreieck DEM flächengleich sind? (8 rote Punkte)

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 25.10.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.10.2018. Deadline for solution is the 25th. October 2018. Date limite pour la solution 25.10.2018. Resoluciones hasta el 25.10.2018. Beadási határidő 2018.10.25

hun

- Ez a kép egyszerűbben néz ki, mint az előző. – mondta Bernd Mike-nak. –Ez így van –
A kör átmérője AB=8 cm. A DMB szög egy jobbszög. A C metszéspont helyzetét a gamma szög nagysága (0° <gamma <180°) adja meg.
Hogyan kell C pont helyzetét kiválasztani, hogy a piros háromszög egyenlő oldalú legyen? Mekkora a kerülte és a területe ennek a piros háromszögnek? (5 kék pont)
Hogyan adjuk meg a C metszéspont helyzetét, hogy az EBC és a DEM háromszög területe megegyező legyen? (8 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket.  ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"L’image est plus simple que celle de la dernière exercice", a déclaré Bernd à Mike. "C'est vrai."
Le diamètre du cercle avec le centre est = AB = 8 cm. L'angle DMB est un angle droit. La position du point de cercle C est déterminée par la taille de l'angle gamma (0 ° <gamma <180 °).
Comment choisir la position de C pour que le triangle rouge devienne équilatéral? Quelle est la circonférence et la surface de ce triangle rouge? (5 points bleus).
Comment choisir la position de C pour que le triangle EBC et le triangle DEM soient égaux en surface? (8 points rouges)

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“This picture looks more simple than the one from last week”, Bernd said to Mike.
“True enough.”
The diameter of a circle with center M is AB = 8cm. Angle DMB is right. The position of point C on the circle is determined b angle Gamma (0°<Gamma<180°).
Where should C be in order to make the red triangle equilateral? What are perimeter and area of this red triangle? - 5 blue points.
Where would C have to be in order to make triangle EBC and triangle DEM equal in area? - 8 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Este imagen es más fácil que ese de la tarea anterior“, le dice Bernd a Mike. „Es verdad“ responde.
El diámetro del círculo con el punto central es = AB = 8 cm. Aceptemos que el ángulo DMB es un ángulo recto. La posición del punto C (que está encima del círculo) se determina con el magnitud del ángulo Gamma (0° < Gamma < 180°).
Cómo se puede definir la posición del punto C para tener el triángulo rojo equilátero? (5 puntos azules)
Cómo se tiene que definir la posición del punto C para obtener que los triángulos EBC y DEM tengan la misma área? (8 puntos rojos)
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:

Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Il disegno è più semplice di quello dell’ ultimo compito”, Bernd diceva a Mike. “È vero.”
Il diametro del cerchio col centro M sia AB = 8 cm. L’ angolo DMB è rettangolare. La posizione del punto C sul arco del cerchio dipende dalla misura del angolo γ (0° < γ(Gamma) < 180°).
Come si deve scegliere la posizione di C, perché il triangolo rosso sia equilatero? Quale sono le misure della periferia e la superficie di questo triangolo rosso? (5 punti blu).
Come si deve scegliere la posizione di C, perché le superfici del triangolo EBC e del triangolo DEM siano uguali? (8 punti rossi)

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösungen von Maximilian --> pdf <-- und Paulchen --> pdf <--, danke.

Aufgabe 6

582.Wertungsaufgabe

"Deine rote Wolke gefällt mir“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Ja, mir gefällt die Konstruktion auch. Noch dazu, da die Konstruktion mit nur zwei Einstellungen des Zirkels ganz schnell geht.“
Maria hat das Sechseck ABCDEF mit der Zirkelspanne von 6,0 cm konstruiert. Dann hat Maria die Diagonalen in das Sechseck eingezeichnet, die nicht durch den Mittelpunkt des Sechsecks verlaufen. So erhält man das kleine Sechseck.  Die Seiten des kleinen Sechsecks liegen auf dem Durchmesser der roten Halbkreise. Einer der Durchmesser ist zum Beispiel BD.
Umfang und Flächeninhalt des Sechsecks ABCDEF – 3 blaue Punkte
Berechnung von Umfang (innen + außen) und Flächeninhalt der sichtbaren roten Fläche. 12 rote Punkte

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 01.11.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 01.11.2018. Deadline for solution is the 1th. November 2018. Date limite pour la solution 01.11.2018. Resoluciones hasta el 01.11.2018. Beadási határidő 2018.11.01

hun

„Tetszik a vörös felhőd” – mondta Bernd a nővérének. „Igen, nekem is tetszik a szerkezete. És még annyit hozzáfűznék, hogy a szerkesztés mindössze két körzőbeállítással nagyon gyorsan megy.”
Mária az ABCDEF hatszöget egy 6 cm-re nyitott körzővel szerkesztette. Azután azokat az átlókat rajzolta meg, amik nem a hatszög középpontján haladnak át. Így jött létre a kicsi hatszög. A kis hatszög oldalai a piros félkör átmérőjén fekszenek. Az átlók egyike pl. a BD.
Adja meg az ABCDEF hatszög kerületét és területét. (3 kék pont)
Számolja ki a látható piros terület kerületének (belül és kívül) valamint felületét. (12 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket.  ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

J'aime ton nuage rouge », a déclaré Bernd à sa sœur. "Oui, j'aime aussi le design. De plus, le design se fait très rapidement avec seulement deux positions du compas. "
Maria a construit l'hexagone ABCDEF avec l'envergure de 6,0 cm. Puis Mary a dessiné les diagonales dans l'hexagone qui ne passent pas par le centre de l'hexagone. Donc, vous obtenez le petit hexagone. Les côtés du petit hexagone sont situés sur le diamètre des demi-cercles rouges. Un des diamètres est par exemple BD.
Périmètre et aire de l'hexagone ABCDEF - 3 points bleus
Calcul de la circonférence (intérieur + extérieur) et de la surface de la zone rouge visible. 12 points rouges
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Me gusta tu nube roja“, le dice Bernd a su hermana, „ Si, a mi también me gusta esta construcción. Además solo requiere dos ajustes del compás de ahí que se realice rápidamente.“
Maria ha construido el hexágono ABCDEF con el radio del compás de 6,0 cm. Después ha marcado las líneas diagonales dentro del hexágono que no atraviesa el punto central del hexágono. Así se obtiene el hexágono pequeño.
Los lados del hexágono pequeño se agarran con el diámetro de los semicírculos rojos. Uno de los diámetros es BD, por ejemplo.
Por el perímetro y la área del hexágono ABCDEF — 3 puntos azules.
Cálculo del perímetro (por dentro y por fuera) y de la área del plano rojo que está visible: 12 puntos rojos.
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“I like your red cloud”, Bern said to his sister.
“Yes, I like it, too. Especially, because it can be done easily with only two adjustments of your compasses.”
Maria constructed hexagon ABCDEF with a compass radius of 6.0 cm. The she drew all the diagonals that don’t go through the centre of the hexagon. That’s how she got the small hexagon. The sides of the small hexagon are part of the diameters of the red semicircles. One of diameters is BD.
Perimeter and area of hexagon ABCDEF – 3 blue points.
Calculation of inner and outer perimeter and area of the visible red area – 12 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Mi piace la tua nuvola rossa”, Bernd diceva a sua sorella. “Si, anche a me piace la costruzione. Perlopiù, perché si costruisce sveltissimo con solo due regolazioni del compasso.”
Maria ha costruito l’esagono ABCDEF con un palmo del compasso di 6,0cm. Poi Maria ha disegnato le diagonali del’ esagono che non trapassano il centro del’ esagono. Così si riceve l’ esagono piccolo. I lati del piccolo esagono sono situati sui diametri dei semicerchi rossi. Uno di essi p.e. è BD.
Circonferenza e superficie del’ esagono ABCDEF – 3 punti blu
Calcolazione della circonferenza (all’ interno e all’ esterno) e superficie dell’ area rossa visibile – 12 punti rossi
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.

 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Hans --> pdf <--, danke.

Aufgabe 7

583.Wertungsaufgabe

Bernd hat einen Glaszylinder mit abnehmbaren Verschluss geschenkt bekommen, der Innendurchmesser beträgt 6,0 cm und die Höhe 12,0 cm.
Blau:: Der Zylinder ist halbvoll (bezogen auf das Volumen) mit Wasser gefüllt. Volumen und Oberfläche des Wassers sind zu berechnen, wenn der Zylinder gerade steht bzw. liegt. 8 blaue Punkte.
Rot: Der Zylinder ist zu einem Drittel (bezogen auf das Volumen) mit Wasser gefüllt. Volumen und Oberfläche des Wassers sind zu berechnen, wenn der Zylinder gerade steht bzw. liegt. 8 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 08.11.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 08.11.2018. Deadline for solution is the 8th. November 2018. Date limite pour la solution 08.11.2018. Resoluciones hasta el 08.11.2018. Beadási határidő 2018.11.08

hun

Bernd egy zárható tetejű üveghengert kapott ajándékba, melynek belső átmérője 6 cm, magassága 12 cm.
Kék: a henger félig tele van vízzel (a térfogatára vonatkozva). Számolja ki a víz térfogatát és felületét, ha a henger áll, illetve ha fekszik. (8 kék pont)
Piros: a henger harmadáig töltött vízzel (a térfogatára vonatkozva). Számolja ki a víz térfogatát és felületét, ha a henger áll, illetve ha fekszik. (8 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Bernd a reçu un cylindre en verre avec un bouchon amovible, le diamètre intérieur est de 6,0 cm et la hauteur de 12,0 cm.
Bleu: Le cylindre est à moitié plein (en volume) rempli d'eau. Calculez le volume et la surface de l'eau lorsque le cylindre est debout ou allongé. 8 points bleus.
Rouge: Le cylindre est rempli d'un tiers (en volume) d'eau. Calculez le volume et la surface de l'eau lorsque le cylindre est debout ou allongé. 8 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros.  ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

A Bernd le regalaron un cilindro de cristal con una tapa desmontable. El diámetro interior ascende a 6,0 cm y la altura 12,0 cm.
Azul: El cilindro está llenado de agua hasta la mitad (refiriéndose al volumen). Calcule volumen y superficie del agua cuando el cilindro está derecho. 8 puntos azules
Rojo: El cilindro está llenado de agua hasta un tercio (refiriéndose al volumen). Calcule volumen y superficie del agua cuando el cilindro está derecho. 8 puntos rojos
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en
Bernd has been given a glas cylinder with a lid. The inner diameter is 6.0 cm and its height is 12.0 cm.
Blue problem: half of the cylinder (regarding the volume) is filled with water. Calculate the volume as well as the surface area of the water with the cylinder standing and also when lying horizontally - 8 blue points.
Red problem: the cylinder is only filled to a third (volume). Calculate volume and surface area of the water standing and lying - 8 red points.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

Bernd ha ricevuto in regalo un cilindro di vetro con un tappo levabile. Il diametro all’ interno ammonta a 6,0 cm e l’ altezza 12,0 cm.
Blu: Il cilindro e semipieno (riguardo al volume) di acqua. Calcolare il volume e la superficie dell’ acqua mentre il cilindro sia eretto rispettivamente disteso. 8 punti blu
Rosso: Il cilindro e riempito per un terzo (riguardo al volume) di acqua. Calcolare il volume e la superficie dell’ acqua mentre il cilindro sia eretto rispettivamente disteso. 8 punti rossi
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.

 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Paulchen, danke --> pdf <--

Aufgabe 8

584.Wertungsaufgabe

„Oh, hast du mal wieder MineSweeper gespielt?“, fragte Bernd seine Schwester. „Ja das stimmt. Auf dem Bild siehst du du das Ergebnis nach dem ersten Klick. Da wurde viel frei.“
Die Zahlen geben an, wie viele Minen (Ein Aufdecken einer Mine führt zum sofortigen Ende des Spiels) auf einem benachbarten Feld liegen. Als benachbart gelten alle Felder, die ein Feld an einer Kante oder Ecke berühren. Das Feld B2 hat also 8 Nachbarn, A1 aber nur 3.
Auf welchen Feldern liegt mit Sicherheit eine Mine. (Feld + Begründung jeweils zwei blaue Punkte)
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es die 10 Minen auf dem 10x10-Feld (9x9) zu verteilen? (3 rote Punkte)
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 15.11.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 15.11.2018. Deadline for solution is the 15th. November 2018. Date limite pour la solution 15.11.2018. Resoluciones hasta el 15.11.2018. Beadási határidő 2018.11.15

hun

- Megint aknakeresőt játszottál? – kérdezte Bernd a nővérét. Igen, a képen az első kattintásom eredményét látod.
A számok megadják, hogy mennyi akna van a szomszédos mezőkön (az aknára lépés a játék azonnal befejeződik). Szomszédosnak számít minden mező, ami sarkával, vagy szélével a mezőhöz ér. Tehát a B2 mezőnek 8 szomszédja van, de az A3-nak csak 3.
Melyik mezőn van biztosan egy akna? (a mező és az indoklás egyenként 2 kék pontot ér)
Hány különböző lehetőség van a 10 akna elhelyezésére a 10x10-es (9x9) játékmezőn? (3 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket.  ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Oh, as-tu encore joué à Démineur?" Demanda Bernd à sa sœur. "Oui c'est vrai. Tu peux voir le résultat après le premier clic sur l’image. Beaucoup a été libéré. "
Les chiffres indiquent combien de mines (Toucher une mine mène à la fin immédiate du jeu) se trouvent sur une case adjacente. Adjacent sont tous les champs qui touchent un champ à un bord ou un coin. Le champ B2 a 8 voisins, A1 seulement 3.
Sur quel champ peut-on trouver avec certitude une mine? (Champ + justification pour deux points bleus chacun)
Il y a combien de possibilités différentes de répartir les 10 mines sur un champ 10x10 (9x9)? (3 points rouges)
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros.  ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„¿Ay, tu has jugado a Minesweeper otra vez?“, le pregunta Bernd a su hermana. „Tienes razón. En la imagen ves el resultado después de clicar sólo una vez. Mucho se puso libre.“
Los números indican, cuantas minas están en la casilla vecina (encontrar una mina termina el partido). Todas las casillas que tocan una casilla con un borde o una esquina pasan por „vecinos“. Entonces la casilla B2 tiene 8 vecinos, A1 sólo tiene 3.
¿En cuales casillas se encuentran minas seguramente? (casilla y causa — en cada caso 2 puntos azules)
¿Cuántas oportunidades diferentes hay para repartir las 10 minas sobre el terreno? (3 puntos rojos)
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“Oh, have you played Minesweeper once again?”, Bernd asked his sister.
“Yes, that’s right. In this picture you can see my result after the first click. A lot of squares have been freed.”
The numbers indicate how many of the adjacent squares contain mines (clicking on a mine ends the game). Adjacent squares are squares that share a corner or a side. Thus square B2 has 8 neighbours, but A1 only 3.
Which squares contain mines for sure? Naming the square and giving a reason – 2 blue points each.
In how many ways can you distribute 10 mines on a 10x10 grid (9x9)? - 3 red points

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Oh, hai di nuovo giocato Minesweeper?”, Bernd chiedeva a sua sorella. “Si, vero. Sull’imagine vedi il risultato dopo il primo clic. Si sono aperti tanti quadretti.”
I numeri indicano quante mine si trovano sui quadretti vicini (se si scoperchia una mina, il gioco finisce immediatamente). Come quadretti vicini contano tutti quadretti che toccano il quale con un bordo o un angolo. Il quadretto B2 per esempio ha 8 vicini, A1 ne ha solo 3.
Su quale quadretti si trova sicuramente una mina (quadretto + spiegazione due punti blu ciascuno)
Quante possibilità diverse esistono per distribuire le 10 mine sul 10x10-campo (9x9)? (3 punti rosso)
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Calvin (war schnell und natürlich richtig), danke --> pdf <--
Endbild des Soiels aus Aufgabe 584:

Aufgabe 9

585. Wertungsaufgabe

„Du darfst meine Kreise stören“, meinte Lisa lächelnd zu Mike. „Ich habe ein Dreieck ABC mit A (0;0), B(9;0) und C (3;6) in ein Koordinatensystem gezeichnet und die Höhen des Dreiecks konstruiert. Der Schnittpunkt der Höhen H liegt bei (3;3).“

Der grüne Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC. Die anderen Kreise verlaufen jeweils durch H und zwei Eckpunkte des Dreiecks ABC.
Der Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABC sind zu berechnen und eine Konstruktionsbeschreibung für das Zeichnen des gelben Kreises. (4+4 blaue Punkte).
Die Mittelpunkte der Kreise, die durch H und je zwei Eckpunkte von Dreieck ABC verlaufen, bilden ein Dreieck DEF. Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks DEF? (Berechnung oder echter Beweis 8 rote Punkte)
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 22.11.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 22.11.2018. Deadline for solution is the 22th. November 2018. Date limite pour la solution 22.11.2018. Resoluciones hasta el 22.11.2018. Beadási határidő 2018.11.22

hun

- Zavarhatod a köreimet.- mondta Lisa nevetve Mike-nak. – ABC háromszöget A (0;0), B(9;0) und C (3;6) a koordináta rendszerben ábrázoltam és a háromszög oldalait megszerkesztettem. Az oldalak metszéspontja H a (3,3)-ra esik.

A zöld kör az ABC háromszög kerülete. A többi kör mindegyike áthalad a H ponton és az ABC háromszög valamelyik csúcsán.
Számolja kis az ABC háromszög kerületét és területét és írja le a sárga kör szerkesztésének menetét. (4+4 kék pont)
A körök középpontjai, amik a H ponton és az ABC háromszög két csúcsán áthaladnak, egy DEF háromszöget képeznek. Mekkora a DEF háromszög kerülete és területe? (Számítás vagy részletes bizonyítás 8 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket.  ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Tu peux déranger mes cercles," dit Lisa en souriant à Mike. "J'ai tracé un triangle ABC avec A (0; 0), B (9; 0) et C (3; 6) dans un système de coordonnées et dessinée les hauteurs du triangle. L'intersection des hauteurs H est à (3; 3). "

Le cercle vert est le périmètre du triangle ABC. Les autres cercles traversent H et deux sommets du triangle ABC.
Le périmètre et l'aire du triangle ABC doivent être calculés ainsi qu'une description de conception pour le dessin du cercle jaune. (4 + 4 points bleus).
Les centres des cercles passant par H et deux sommets du triangle ABC forment un triangle DEF. Quelle est la circonférence et l'aire du triangle DEF? (Calcul ou épreuve réelle 8 points rouges)
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Tienes permiso de molestar mis círculos“, dijo Lisa sonriendo a Mike. „He dibujado un triángulo ABC con A(0;0), B(9;0) y C(3;6) en un sistema de coordenadas y construido las alturas del triángulo. El punto de intersección de las alturas H está a (3;3).“

El círculo verde es el perímetro del triángulo ABC. Los otros círculos pasan cada vez por H y por dos vértices del triángulo ABC.
Hay que calcular el perímetro y la área del triángulo ABC y añadir un fichero de construcción para el dibujo del círculo amarillo. (4+4 puntos azules)
Los puntos centrales de los círculos que pasan por el punto H y dos vértices del triángulo ABC forman un triángulo que llamamos DEF. ¿Que medida tienen perímetro y área del triángulo DEF? (Cálculo o prueba matemática — 8 puntos rojos)
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en
“You may disturb my circles”, Lisa said to Mike with a smile. “I’ve drawn triangle ABC into a coordinate system A (0;0), B(9;0) and C (3;6) and constructed its altitudes. The intersection H of the altitudes is at (3;3).”

The green circle is the circumcircle of triangle ABC. The other circles each pass through H and two of the triangle’s vertices. Calculate the perimeter and area of triangle ABC and explain how to construct the yellow circle (4 + 4 blue points).
The centres of the circles that pass through H and two vertices of triangle ABC form triangle DEF. Calculate the perimeter and area of triangle DEF? (Calculation or proof – 8 red points)

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Puoi disturbare i miei cerchi“, Lisa diceva sorridendo a Mike. “Ho disegnato un triangolo con A(0;0), B(9;0) e C(3;6) in un sistema di coordinate e poi costruite le sue altezze. Il punto d’ intersezione delle altezze è H(3;3).”

IL cerchio verde é il circondario del triangolo ABC. Gli altri cerchi passano ciascuno per H e due dei angoli A, B, C.
La circonferenza e la superficie del triangolo ABC sono da calcolare ed inoltre si deve descrivere la costruzione del cerchio giallo. (4 + 4 punti blu)
I centri dei cerchi che passano per H e due dei punti A, B, C ciascuno formano un triangolo DEF. Quale sono le misure della circonferenza e la superficie di questo triangolo DEF? (Calcolazione o una vera dimostrazione matematica: 8 punti rossi)
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösung von Hans, danke. --> pdf <--

Aufgabe 10

586. Wertungsaufgabe

„Was hast du denn gebaut?“, fragt Bernd seinen Opa. „Ich hatte noch viele Bretter übrig, die alle ein Zentimeter stark sind. Die habe ich so bearbeitet, dass ich eine quadratische Pyramide zusammensetzen konnte. Wenn ich die Bodenplatte abmache, kannst du sehen, dass die Grundfläche im Inneren 8 cm (Kantenlänge) groß ist und der Innenraum 15 cm hoch ist. Hier habe ich noch ein Zwischenbrett (quadratisch). Wenn ich das in der Pyramide anbringe, dann ist über dem Brett noch 8 cm Platz.“
Wie groß sind die Volumina der beiden Körper im Inneren der Pyramide, die frei von Holz sind? 6 blaue Punkte.
Wie schwer ist die Pyramide mit Bodenplatte und Zwischenplatte, wenn das Holz eine Dichte von 0,8 g/cm³ hat? 12 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. Enthalten sind die Zahlen: 14, 46. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 29.11.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 29.11.2018. Deadline for solution is the 29th. November 2018. Date limite pour la solution 29.11.2018. Resoluciones hasta el 29.11.2018. Beadási határidő 2018.11.29

hun

- Mit építettél? – kérdezte Berndt a nagyapját. - Volt még sok felesleges deszkám, mind 1 cm vastagok. Ezeket úgy raktam egymásra, hogy egy négyszög alapú piramist kapjak. Ha az alaplapot elveszem, láthatod, hogy a belső rész alapterülete 8 cm, magassága 15 cm. Itt van még egy közbülső deszkám (négyszögletes). Ha ezt a piramisba beépítem, felette 8 cm hely van.
Milyen nagy a két fa mentes test térfogata a piramis belsejében? 6 kék pont
Milyen nehéz a piramis alaplappal és közbülső lappal, ha a fa sűrűsége 0,8 g/cm³? 12 piros pont

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. A számok tartalmazzák a 14-et és a 46-at. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Qu'est-ce que tu as construit?", demande Bernd à son grand-père. "Il me restait encore beaucoup de planches, toutes d'un cm d'épaisseur. Je les ai travaillées pour pouvoir construire une pyramide carrée. Si je retire la plaque inférieure, tu peux voir que la base mesure 8 cm à l'intérieur et 15 cm de haut. Ici, j'ai une planche intermédiaire (carrée). Si j’installe ça dans la pyramide, alors au-dessus de cette planche, il reste encore 8 cm d’espace. "
Quels sont les volumes des deux espaces sans bois à l'intérieur de la pyramide? 6 points bleus.
Quel est le poids de la pyramide avec la plaque inférieure et la planche intermédiaire lorsque le bois a une densité de 0,8 g / cm³? 12 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. Inclus sont les nombres: 14, 46. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Que es lo que has construido?“, le pregunta Bernd a su abuelo.
„Sobraron unas tablas que son todos de un centímetro de grosor. Los he ajustado así para poder componer una pirámide cuadrada. Quitando la solera podemos ver que la base mide 8 cm y el interior tiene 15 cm de altura.
Aquí además tengo una tabla para el nivel intermedio (cuadrada). Si coloco esto, queda un espacio de 8 cm arriba de la tabla.“
¿Que volumen tienen los dos cuerpos del interior de la pirámide, que quedan libre de madera? — 6 puntos azules
¿Que peso tiene la pirámide con la solera y la tabla para el nivel intermedio  si la madera es de una densidad de 0,8 g/cm³? — 12 puntos rojos
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. Incluidos son los siguientes números: 14, 46. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“What have you built here?”, Bernd asked his granddad.
“I had a lot of wooden boards left that are all one centimenter thick. I crafted them so they would make a nice little square pyramid. When I remove the base you can see that its floor area inside is 8 cm and the inside space has a height of 15 cm. Here is another square floor board that goes in between. When I put this inside the pyramide there is 8 cm space above it.”’
What are the volumes of the two spaces inside the pyramid that are not solid? - 6 blue points
What is the weight of the pyramide complete with base and inside floor, given a density of 0.8 g/cm³ for the wood? - 12 red points

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different
icons, different digits. Only this numbers are present: 14, 46,. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Cosa hai costruito?”, Bernd chiedeva a suo nonno. “Avevo restante tante assi, ciascuno con uno spessore di un centimetro. Con questi ho costruito una piramide quadrata. Se levo la piastre di fondo, puoi vedere che la base all’ interno ha 8 cm e l’ abitacolo ha una altezza di 15 cm. Ecco un altra asse quadrata. Se fisso questa dentro la piramide, sopra di essa sono 8 cm di altezza.”
Quale misura hanno i volumi dei due campi all’ interno, che sono privi di legno? (6 punti blu)
Quanto pesa la piramide incluso le due piastre (di base e all’ interno), se il legno ha una densitá di 0,8 g/cm³? (12 punti rossi)
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.
Sono compresi i numeri: 14, 46 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
sehr ausfürhrliche Musterlösung von Karlludiwig, danke. --> pdf <--

Aufgabe 11

587. Wertungsaufgabe

„Du hast dich mit Ellipsen beschäftigt, das gefällt mir“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Wir haben uns letzte Woche mit den Gesetzen von Johannes Kepler beschäftigt und da geht es ja um Ellipsen. Hier nun ein paar Informationen zu meiner Zeichnung.“

Die F₁ und F₂ heißen Brennpunkte und liegen im Inneren. Für jeden Punkt auf der Ellipse A gilt, dass AF₁ + AF₂ für eine Ellipse immer gleich groß ist. M ist der Mittelpunkt, a (Z₁M) und b (Z₂M) sind die Halbachsen. MF₁ = MF₂ wird als Brennweite bezeichnet.
Wie groß ist die Halbachse a, wenn die Brennweite 4 cm und b 4 cm groß sind? 4 blaue Punkte.
Es gelte a >b. An einem Punkt A der Ellipse ist die Tangente gezeichnet worden. Es entstehen die Punkte B und C. Der Winkel CAB soll 90° groß sein. Zu zeigen ist, dass MB*MC=a²-b² gilt. 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 06.12.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 06.12.2018. Deadline for solution is the 6th. December 2018. Date limite pour la solution 06.12.2018. Resoluciones hasta el 06.12.2018. Beadási határidő 2018.12.06

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. Enthalten sind die Zahlen: 57, 75. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

hun

- Az ellipszisekkel foglalkoztál, ezt tetszik nekem! – mondta Berndt a nővérének. – Előző héten  a Kepler-törvényeket tanultuk és ez ügye az ellipszisekről szól. Íme néhény adat a rajzomhoz.

Az F₁-t és az F₂ –t gyújtópontnak nevezzük, és az ellipszisen belül helyezkednek el. Az A ellipszis minden pontjára érvényes, hogy az  AF₁ + AF₂ az ellipszisre mindig egyenlő nagyságú. M a középpont, a (Z₁M) és b (Z₂M) pedig a felezőtengelyek. MF₁ = MF₂ gyújtópontok.
Mekkora az a féltengely, ha a gyújtópont 4 cm és b 4 cm magas? 4 kék pont
Vegyük azt, hogy a >b és az ellipszis egy A pontjához egy érintőt rajzolunk. Így kapjuk meg a B és C pontot. A CAB szögnek 90°-nak kell lennie. Bizonyítsa be, hogy MB*MC=a²-b² igaz. 6 piros pont.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. A számok tartalmazzák a 57-et és a 75-at. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Tu t’es occupé avec des ellipses, j'aime ça", dit Bernd à sa sœur. "La semaine dernière, nous avons étudié les lois de Johannes Kepler et là, il s’agit des ellipses. Voici quelques informations sur mon dessin. "

F₁ et F₂ sont des foyers et se trouvent à l'intérieur. Pour chaque point sur l’ellipse A,  AF₁ + AF₂ est toujours identique pour une ellipse. M est le milieu, a (Z₁M) et b (Z₂M) sont les demi-axes. MF₁ = MF₂  est appelée l’axe focal.
Quel est le demi-axe a, lorsque la distance focale est de 4 cm et b 4 cm? 4 points bleus.
S'applique a > b. En un point A de l'ellipse, la tangente a été dessinée. Les points B et C sont créés. L'angle CAB doit être de 90 °. Il faut montrer que MB * MC = a²-b². 6 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. Inclus sont les nombres: 57,75. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

587 elipses

„Te has ocupado con elipses, eso me gusta“, le dice Bernd a su hermana. „La semana pasada nos dedicamos a las leyes de Johannes Kepler y allí se trata de elipses. Aquí tienes unas informaciones respecto a mi dibujo.“

Los focos F₁ y F₂ están en el interior. Para cada punto encima de la elipse A se aplica que AF₁ + AF₂ para una elipse son del mismo tamaño. M es el punto central, a (Z₁M) y b (Z₂M) son los semiejes. MF₁ = MF₂ especificamos como la distancia focal.
¿Qué tamaño tiene el semieje a, si la distancia focal mide 4 cm et b 4 cm? 4 puntos azules
Valga a >b. En un punto A de la elipse está trazado la tangente. Se producen los puntos B y C. El ángulo CAB tiene que ser a 90°. Hay que demostrar que se aplica MB*MC=a²-b². 6 puntos rojos
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:

Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. Incluidos son los siguientes números: 57, 75. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“You have investigated ellipses, I like that”, Bernd tells his sister.
“Last week we looked at Kepler's laws of planetary motion which are basically about ellipses. Let me give you some information about my drawing.”

F₁ and F₂ are called focal points and are inside the ellipse. For any point A of the ellipse the sum AF₁ + AF₂ is constant. M is the centre, a (Z₁M) and b (Z₂M) are its semi axes. MF₁ = MF₂ is called linear eccentricity.
How long is semi axis a, given that the linear eccentricity is 4cm and b = 4cm? - 4 blue points.
Let a>b. A tangent line has been constructed that meets the ellipse in point A. Thus we get points B and C. Angle CAB is 90°. Show that MB*MC=a²-b². - 6 red points

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. Only this numbers are present: 57, 75. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Sono contento che ti sei addentrata in ellissi“, Bernd disse a sua sorella. “La settimana scorsa abbiamo parlato dei principi di Kepler e questi trattano dei ellissi. Ecco qualche informazione sul mio disegno.”

F₁ e F₂ si chiamano fuochi e stanno nell‘ interno. Per ogni punto A sull‘ ellise la somma AF₁ + AF₂ è sempre uguale. M denomina il centro, a (Z₁M) e b (Z₂M) sono I semiassi. MF₁ = MF₂ è denominato distanza focale.
Quale misura ha la semiasse a, se la distanza focale è 4 cm e b = 4 cm? (4 punti blu)
Sia a > b. In un punto A è stato tracciato la tangente. Di questa sorgono I punti B e C. L`angolo CAB abbia 90°. Si verifica l’equazione MB*MC=a²-b². (6 punti rossi)
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. Sono compresi i numeri: 57, 75 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösungen von Karlludwig (zwei Varianten rot)  --> pdf <-- und Reinhold M, danke.

Z1 und Z2 liegen auf der Ellipse. Es gilt also
 Z1F1 + Z1F2 = Z2F1 + Z2F2
bzw. mit der Bezeichnung e für die Brennweite
 Z1F1 + Z1F2 = (a - e) + (a + e)
             = 2 a
             = Z2F1 + Z2F2
             = Wurzel(e^2 + b^2) + Wurzel(e^2 + b^2)
             = 2 Wurzel(e^2 + b^2),
woraus durch Quadrieren und Umformen
 e^2 = a^2 - b^2
folgt, d.h.
 e = Wurzel(a^2 - b^2).
Für "blau" mit e = b = 4 (alles in cm) reicht uns aber zunächst
 a = Wurzel(e^2 + b^2)
   = 4 Wurzel(2)
   ≈ 5,66.

Für "rot" lege ich die Ellipse nun in ein kartesisches Koordinatensystem mit M = (0; 0), Z1 = (-a; 0), Z2 = (0; b). Dann gilt für einen beliebigen Punkt A = (xA; yA) (vgl. oben)
 2 a = AF1 + AF2
     = Wurzel((xA + e)^2 + yA^2) + Wurzel((xA - e)^2 + yA^2),
also
 Wurzel((xA + e)^2 + yA^2) = 2 a - Wurzel((xA - e)^2 + yA^2).
Durch Quadrieren und Umformen folgt daraus
 a Wurzel((xA - e)^2 + yA^2) = a^2 - e xA
und daraus wiederum
 0 = a^2 (a^2 - e^2) - a^2 yA^2 - (a^2 - e^2) xA^2,
mit a^2 - e^2 = b^2 (vgl. oben) also
 a^2 yA^2 + b^2 xA^2 = a^2 b^2
bzw.
 yA^2/b^2 + xA^2/a^2 = 1
oder
 yA = +- b/a Wurzel(a^2 - xA^2).
Der Anstieg (1. Ableitung) ist damit
 +- b/a * 1/2 * 1/Wurzel(a^2 - xA^2) * (-2 * xA) = - b^2/a^2 xA/yA
und mit
 yA - (- b^2/a^2 xA/yA xA) = (a^2 yA^2 + b^2 xA^2) / (a^2 yA^2)
                           = b^2/yA^2
die Gleichung der Tangente in A
 y = - b^2/a^2 xA/yA x + b^2/yA.
Damit folgt
 C = (a^2/xA; 0).
Die Normale in A hat folglich den Anstieg
 - 1/(- b^2/a^2 xA/yA) = a^2/b^2 yA/xA
und mit
 yA - a^2/b^2 yA/xA xA = - yA (a^2/b^2 - 1)
die Gleichung
 y = a^2/b^2 yA/xA x - yA (a^2/b^2 - 1).
Damit folgt
 B = ((1 - b^2/a^2)xA; 0).
Es gilt also
 MB * MC = (1 - b^2/a^2)xA * a^2/xA
         = a^2 - b^2,
q.e.d.

Mit der Umschrift
 ABCD / AE =  FD
    -    *     +
  GBD +  H = GBI
    =    =     =
  FIJ - DF = FCH
des "Symbolrätsels" folgt zunächst
 J = 0 und A = 1 (1. Spalte).
Dann müssen wir erstmal sammeln:
 F + H = 10 und C + D = I - 1 (3. Zeile),
 D + H = I (2. Zeile),
also
 I > H,
so dass der 3. Spalte folgt
 D + I = H + 10, F + B = C + 9, F = G + 1,
zusammen also
 I = H + 5,
 C = H - 1 = I - 6 = 9 - F >= 2,
folglich
 F <= 7, I >= 8, C <= 3, H <= 4,
und
 I + B = C + 10, 2 F = B + 10 (1. Spalte),
also
 3 <= B <= 4, B gerade, d.h.
 B = 4, F = 7, G = 6, I = 8, C = 2, H = 3, D = 5.
Damit folgt noch
 E = 9 (1. Zeile oder Spalte).
Die Lösung ist zusammengefasst
 1425 / 19 =  75
    -    *     +
  645 +  3 = 648
    =    =     =
  780 - 57 = 723
- und 57 sowie 75 sind tatsächlich enthalten ;-)

Aufgabe 12

588. Wertungsaufgabe

„Opa hat wieder mal eine Zahlenspielerei mit gebracht.“, sagte Maria zu ihrem Bruder Bernd. „Es geht um Kubikzahlen – x³.
X sollen natürliche Zahlen ab der Zahl 2 sein. In Opas Buch stand, dass sich x³ immer als Summe von x aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen schreiben lässt.
Beispiele:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
Wie lauten die Summen für 5³ , 6³ und 7³ je zwei blaue Punkte.
Gilt die Behauptung vom Opa immer oder gibt es aus Ausnahmen? 6 rote Punkte Wie heißen die ersten drei Zahlen a, b, c für 1000³ = a +b + c + … (+ 2 rote Punkte)
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 13.12.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.12.2018. Deadline for solution is the 13th. December 2018. Date limite pour la solution 13.12.2018. Resoluciones hasta el 13.12.2018. Beadási határidő 2018.12.13

hun

Nagyapa megint egy „számjátékot” hozott magával – mondta Mária a bátyjának, Berndnek. Ez most a köbökről szól.
X egy természetes szám 2-től kezdve. Nagyapa könyvében az áll, hogy x³-t mindig megadhatjuk x egymást követő páratlan szám összegével.
Például:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
Mely számok összege a 5³ , 6³ és a 7³? Egyenként 2 kék pont
Mindig érvényes a nagyapa megállapítása, vagy vannak kivételek? 6 piros pont
Mi az első három szám (a, b, c) a következő egyenletben? 1000³ = a +b + c + …  2 piros pont

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Grand-père a de nouveau apporté un jeu de chiffres", a expliqué Maria à son frère Bernd. "Il s’agit de nombres cubiques - x³.
X devrait être un nombre naturel à partir du chiffre 2. Dans le livre de grand-père, il est indiqué que x³ peut toujours être écrits comme la somme de x nombres impairs consécutifs.
Exemples:
2³ = 8 = 3 + 5
3³ = 27 = 7 + 9 + 11
4³ = 64 = 13 + 15 + 17 + 19
Quelles sont les sommes pour 5³, 6³ et 7³ ?  2 points bleus pour chaque
La déclaration du grand-père est-elle toujours valable ou existe-t-il des exceptions? 6 points rouges Quels sont les trois premiers chiffres  a, b, c pour 1000³ = a + b + c + ... (+ 2 points rouges)

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros.  ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„El abuelo otra vez a traído un juego de números“, le dice María a su hermano Bernd. „Se trata de cubos – x³.
Decimos que X son todos los números naturales del número 2 en adelante. En el libro del abuelo se escribe que x³ es siempre la suma de x números impares conscutivos.
Ejemplos:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
¿Cómo se dicen las sumas para 5³ , 6³ y 7³ ? dos puntos azules
¿La pregunta es, si la afirmación del abuelo se aplica siempre y si hay excepciones? 6 puntos rojos ¿Cómo se llaman los primeros 3 números a, b, c para 1000³ = a +b + c + … (+ 2 puntos rojos)

Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„Grandad has brought another number gimmick.“, maria said to her brother Bernd.
„It‘s about cube numbers – x³. Let x be natural numbers starting with 2. Grandad‘s book says that x³ can always be expressed as the sum of x consecutive odd numbers.“
Examples:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
What are the sums for 5³, 6³ and 7³? - 2 blue points each.
Is grandad’s rule trua for any cube number or are there exceptions? - 6 red points.
What are the first three odd numbers a, b, c for 1000³ = a + b + c + … ? (+ red points)

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Nonno ci ha di nuovo portato un passatempo con numeri.”, Maria disse a suo fratello Bernd. “Tratta di numeri cubici, cioè - x³.”
x siano numeri naturali dal 2 in poi. Nel libro di nonno c’ era scritto che x³ può sempre essere rappresentato come una somma di n numeri dispari consecutivi.
Esempi:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
Quale sono le somme per  5³, 6³,  7³ ? (due punti blu ciascuna)
È sempre valida l’ affermazione del nonno o ci sono eccezioni? (6 punti rossi)
Quale sono i primi tre numeri a, b, c per 1000³ = a+ b +c + ...(+2 punti rossi)

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.  ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung von Reinhold M.

ich beginne gleich mit "rot":

Für eine beliebige gerade natürliche Zahl x >= 2 gibt es eine natürliche Zahl n >= 1 mit
 x = 2n.
Damit gilt
 Summe(i=-n..n-1 über x^2 + 1 + 2i) = 2n (x^2 + 1) + 2 * 1/2 * 2n * (-n + (n - 1)) (2 ausgeklammert und dann kleiner Gauß)
                                    = 2n (x^2 + 1 - 1)
                                    = x^3.
Da Summe(i=-n..n-1 über x^2 + 1 + 2i) genau 2n = x Summanden enthält, die ungerade sind (da x und damit x^2 sowie 2i gerade sind) und deren Abstand 2 ist, ist die Behauptung damit für alle geraden x gezeigt (es ginge natürlich auch mit vollständiger Induktion...).

Für eine beliebige ungerade natürliche Zahl x >= 2 gibt es analog eine natürliche Zahl n >= 1 mit
 x = 2n + 1.
Damit gilt
 Summe(i=-n..n über x^2 + 2i) = (2n + 1) x^2 + 2 * 1/2 * (2n + 1) * (-n + n)) (wieder 2 ausgeklammert und kleiner Gauß)
                                    = (2n + 1) x^2
                                    = x^3.
Da Summe(i=-n..n über x^2 + 2i) genau 2n + 1 = x Summanden enthält, die ungerade sind (da x und damit x^2 ungerade ist) und deren Abstand 2 ist, ist die Behauptung damit auch für alle ungeraden x gezeigt.

Im Spezialfall x = 1000 ist x gerade mit n = 500. Die ersten drei Summanden von
 Summe(i=-500..499 über 1000^2 + 1 + 2i) = Summe(i=-500..499 über 1000001 + 2i)
sind damit
 1000001 - 1000 = 999001,
 1000001 - 998 = 999003 und
 1000001 - 996 = 999005.

Für "blau" sind nun nur weitere drei Spezialfälle auszurechnen.
Bei x = 5 ist x ungerade mit n = 2:
 5^3 = Summe(i=-2..2 über 25 + 2i)
     = 21 + 23 + 25 + 27 + 29.
Für x = 6 ist x gerade mit n = 3:
 6^3 = Summe(i=-3..2 über 37 + 2i)
     = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41.
Für x = 7 ist x ungerade mit n = 3:
 7^3 = Summe(i=-3..3 über 49 + 2i)
     = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55.

Das "Blumenrätsel" schreibe ich wieder um:
 AB / CD =  E
  -    -    *
 FG -  B = CF
  =    =    =
 EB +  H = BD.
Dann folgt diesmal sehr schnell
 G = 0 (1. Spalte),
 C = 1 (2. Spalte),
 F = 2 und damit B = 8 (2. Zeile),
 E = 7, D = 4 (3. Spalte)
und schließlich
 A = 9 (1. Zeile oder Spalte),
 H = 6 (2. Spalte oder 3. Zeile).
Die Lösung ist damit
 98 / 14 =  7
  -    -    *
 20 -  8 = 12
  =    =    =
 78 +  6 = 84.

Auswertung/Punkte Serie 49

Die Gewinner des Buchpreises sind Nina Richter, Maximilian und Günter S. Herzlichen Glückwunsch zum Gewinn des Buches: Das große Buch der Paradoxien

Auswertung Serie 49 (blaue Liste)

Auswertung Serie 49 (rote Liste)