Serie 49

Aufgabe 12

588. Wertungsaufgabe

„Opa hat wieder mal eine Zahlenspielerei mit gebracht.“, sagte Maria zu ihrem Bruder Bernd. „Es geht um Kubikzahlen – x³.
X sollen natürliche Zahlen ab der Zahl 2 sein. In Opas Buch stand, dass sich x³ immer als Summe von x aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen schreiben lässt.
Beispiele:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
Wie lauten die Summen für 5³ , 6³ und 7³ je zwei blaue Punkte.
Gilt die Behauptung vom Opa immer oder gibt es aus Ausnahmen? 6 rote Punkte Wie heißen die ersten drei Zahlen a, b, c für 1000³ = a +b + c + … (+ 2 rote Punkte)
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 13.12.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.12.2018. Deadline for solution is the 13th. December 2018. Date limite pour la solution 13.12.2018. Resoluciones hasta el 13.12.2018. Beadási határidő 2018.12.13

hun

Nagyapa megint egy „számjátékot” hozott magával – mondta Mária a bátyjának, Berndnek. Ez most a köbökről szól.
X egy természetes szám 2-től kezdve. Nagyapa könyvében az áll, hogy x³-t mindig megadhatjuk x egymást követő páratlan szám összegével.
Például:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
Mely számok összege a 5³ , 6³ és a 7³? Egyenként 2 kék pont
Mindig érvényes a nagyapa megállapítása, vagy vannak kivételek? 6 piros pont
Mi az első három szám (a, b, c) a következő egyenletben? 1000³ = a +b + c + …  2 piros pont

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Grand-père a de nouveau apporté un jeu de chiffres", a expliqué Maria à son frère Bernd. "Il s’agit de nombres cubiques - x³.
X devrait être un nombre naturel à partir du chiffre 2. Dans le livre de grand-père, il est indiqué que x³ peut toujours être écrits comme la somme de x nombres impairs consécutifs.
Exemples:
2³ = 8 = 3 + 5
3³ = 27 = 7 + 9 + 11
4³ = 64 = 13 + 15 + 17 + 19
Quelles sont les sommes pour 5³, 6³ et 7³ ?  2 points bleus pour chaque
La déclaration du grand-père est-elle toujours valable ou existe-t-il des exceptions? 6 points rouges Quels sont les trois premiers chiffres  a, b, c pour 1000³ = a + b + c + ... (+ 2 points rouges)

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros.  ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„El abuelo otra vez a traído un juego de números“, le dice María a su hermano Bernd. „Se trata de cubos – x³.
Decimos que X son todos los números naturales del número 2 en adelante. En el libro del abuelo se escribe que x³ es siempre la suma de x números impares conscutivos.
Ejemplos:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
¿Cómo se dicen las sumas para 5³ , 6³ y 7³ ? dos puntos azules
¿La pregunta es, si la afirmación del abuelo se aplica siempre y si hay excepciones? 6 puntos rojos ¿Cómo se llaman los primeros 3 números a, b, c para 1000³ = a +b + c + … (+ 2 puntos rojos)

Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:
Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„Grandad has brought another number gimmick.“, maria said to her brother Bernd.
„It‘s about cube numbers – x³. Let x be natural numbers starting with 2. Grandad‘s book says that x³ can always be expressed as the sum of x consecutive odd numbers.“
Examples:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
What are the sums for 5³, 6³ and 7³? - 2 blue points each.
Is grandad’s rule trua for any cube number or are there exceptions? - 6 red points.
What are the first three odd numbers a, b, c for 1000³ = a + b + c + … ? (+ red points)

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Nonno ci ha di nuovo portato un passatempo con numeri.”, Maria disse a suo fratello Bernd. “Tratta di numeri cubici, cioè - x³.”
x siano numeri naturali dal 2 in poi. Nel libro di nonno c’ era scritto che x³ può sempre essere rappresentato come una somma di n numeri dispari consecutivi.
Esempi:
2³=8 = 3+5
3³=27= 7+9+11
4³= 64= 13+15+17+19
Quale sono le somme per  5³, 6³,  7³ ? (due punti blu ciascuna)
È sempre valida l’ affermazione del nonno o ci sono eccezioni? (6 punti rossi)
Quale sono i primi tre numeri a, b, c per 1000³ = a+ b +c + ...(+2 punti rossi)

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre.  ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung von Reinhold M.

ich beginne gleich mit "rot":

Für eine beliebige gerade natürliche Zahl x >= 2 gibt es eine natürliche Zahl n >= 1 mit
 x = 2n.
Damit gilt
 Summe(i=-n..n-1 über x^2 + 1 + 2i) = 2n (x^2 + 1) + 2 * 1/2 * 2n * (-n + (n - 1)) (2 ausgeklammert und dann kleiner Gauß)
                                    = 2n (x^2 + 1 - 1)
                                    = x^3.
Da Summe(i=-n..n-1 über x^2 + 1 + 2i) genau 2n = x Summanden enthält, die ungerade sind (da x und damit x^2 sowie 2i gerade sind) und deren Abstand 2 ist, ist die Behauptung damit für alle geraden x gezeigt (es ginge natürlich auch mit vollständiger Induktion...).

Für eine beliebige ungerade natürliche Zahl x >= 2 gibt es analog eine natürliche Zahl n >= 1 mit
 x = 2n + 1.
Damit gilt
 Summe(i=-n..n über x^2 + 2i) = (2n + 1) x^2 + 2 * 1/2 * (2n + 1) * (-n + n)) (wieder 2 ausgeklammert und kleiner Gauß)
                                    = (2n + 1) x^2
                                    = x^3.
Da Summe(i=-n..n über x^2 + 2i) genau 2n + 1 = x Summanden enthält, die ungerade sind (da x und damit x^2 ungerade ist) und deren Abstand 2 ist, ist die Behauptung damit auch für alle ungeraden x gezeigt.

Im Spezialfall x = 1000 ist x gerade mit n = 500. Die ersten drei Summanden von
 Summe(i=-500..499 über 1000^2 + 1 + 2i) = Summe(i=-500..499 über 1000001 + 2i)
sind damit
 1000001 - 1000 = 999001,
 1000001 - 998 = 999003 und
 1000001 - 996 = 999005.

Für "blau" sind nun nur weitere drei Spezialfälle auszurechnen.
Bei x = 5 ist x ungerade mit n = 2:
 5^3 = Summe(i=-2..2 über 25 + 2i)
     = 21 + 23 + 25 + 27 + 29.
Für x = 6 ist x gerade mit n = 3:
 6^3 = Summe(i=-3..2 über 37 + 2i)
     = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41.
Für x = 7 ist x ungerade mit n = 3:
 7^3 = Summe(i=-3..3 über 49 + 2i)
     = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55.

Das "Blumenrätsel" schreibe ich wieder um:
 AB / CD =  E
  -    -    *
 FG -  B = CF
  =    =    =
 EB +  H = BD.
Dann folgt diesmal sehr schnell
 G = 0 (1. Spalte),
 C = 1 (2. Spalte),
 F = 2 und damit B = 8 (2. Zeile),
 E = 7, D = 4 (3. Spalte)
und schließlich
 A = 9 (1. Zeile oder Spalte),
 H = 6 (2. Spalte oder 3. Zeile).
Die Lösung ist damit
 98 / 14 =  7
  -    -    *
 20 -  8 = 12
  =    =    =
 78 +  6 = 84.