Serie 49

Aufgabe 11

587. Wertungsaufgabe

„Du hast dich mit Ellipsen beschäftigt, das gefällt mir“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Wir haben uns letzte Woche mit den Gesetzen von Johannes Kepler beschäftigt und da geht es ja um Ellipsen. Hier nun ein paar Informationen zu meiner Zeichnung.“

Die F₁ und F₂ heißen Brennpunkte und liegen im Inneren. Für jeden Punkt auf der Ellipse A gilt, dass AF₁ + AF₂ für eine Ellipse immer gleich groß ist. M ist der Mittelpunkt, a (Z₁M) und b (Z₂M) sind die Halbachsen. MF₁ = MF₂ wird als Brennweite bezeichnet.
Wie groß ist die Halbachse a, wenn die Brennweite 4 cm und b 4 cm groß sind? 4 blaue Punkte.
Es gelte a >b. An einem Punkt A der Ellipse ist die Tangente gezeichnet worden. Es entstehen die Punkte B und C. Der Winkel CAB soll 90° groß sein. Zu zeigen ist, dass MB*MC=a²-b² gilt. 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 06.12.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 06.12.2018. Deadline for solution is the 6th. December 2018. Date limite pour la solution 06.12.2018. Resoluciones hasta el 06.12.2018. Beadási határidő 2018.12.06

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. Enthalten sind die Zahlen: 57, 75. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

hun

- Az ellipszisekkel foglalkoztál, ezt tetszik nekem! – mondta Berndt a nővérének. – Előző héten  a Kepler-törvényeket tanultuk és ez ügye az ellipszisekről szól. Íme néhény adat a rajzomhoz.

Az F₁-t és az F₂ –t gyújtópontnak nevezzük, és az ellipszisen belül helyezkednek el. Az A ellipszis minden pontjára érvényes, hogy az  AF₁ + AF₂ az ellipszisre mindig egyenlő nagyságú. M a középpont, a (Z₁M) és b (Z₂M) pedig a felezőtengelyek. MF₁ = MF₂ gyújtópontok.
Mekkora az a féltengely, ha a gyújtópont 4 cm és b 4 cm magas? 4 kék pont
Vegyük azt, hogy a >b és az ellipszis egy A pontjához egy érintőt rajzolunk. Így kapjuk meg a B és C pontot. A CAB szögnek 90°-nak kell lennie. Bizonyítsa be, hogy MB*MC=a²-b² igaz. 6 piros pont.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. A számok tartalmazzák a 57-et és a 75-at. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Tu t’es occupé avec des ellipses, j'aime ça", dit Bernd à sa sœur. "La semaine dernière, nous avons étudié les lois de Johannes Kepler et là, il s’agit des ellipses. Voici quelques informations sur mon dessin. "

F₁ et F₂ sont des foyers et se trouvent à l'intérieur. Pour chaque point sur l’ellipse A,  AF₁ + AF₂ est toujours identique pour une ellipse. M est le milieu, a (Z₁M) et b (Z₂M) sont les demi-axes. MF₁ = MF₂  est appelée l’axe focal.
Quel est le demi-axe a, lorsque la distance focale est de 4 cm et b 4 cm? 4 points bleus.
S'applique a > b. En un point A de l'ellipse, la tangente a été dessinée. Les points B et C sont créés. L'angle CAB doit être de 90 °. Il faut montrer que MB * MC = a²-b². 6 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme :Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. Inclus sont les nombres: 57,75. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

587 elipses

„Te has ocupado con elipses, eso me gusta“, le dice Bernd a su hermana. „La semana pasada nos dedicamos a las leyes de Johannes Kepler y allí se trata de elipses. Aquí tienes unas informaciones respecto a mi dibujo.“

Los focos F₁ y F₂ están en el interior. Para cada punto encima de la elipse A se aplica que AF₁ + AF₂ para una elipse son del mismo tamaño. M es el punto central, a (Z₁M) y b (Z₂M) son los semiejes. MF₁ = MF₂ especificamos como la distancia focal.
¿Qué tamaño tiene el semieje a, si la distancia focal mide 4 cm et b 4 cm? 4 puntos azules
Valga a >b. En un punto A de la elipse está trazado la tangente. Se producen los puntos B y C. El ángulo CAB tiene que ser a 90°. Hay que demostrar que se aplica MB*MC=a²-b². 6 puntos rojos
Por la resolución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente:

Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. Incluidos son los siguientes números: 57, 75. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“You have investigated ellipses, I like that”, Bernd tells his sister.
“Last week we looked at Kepler's laws of planetary motion which are basically about ellipses. Let me give you some information about my drawing.”

F₁ and F₂ are called focal points and are inside the ellipse. For any point A of the ellipse the sum AF₁ + AF₂ is constant. M is the centre, a (Z₁M) and b (Z₂M) are its semi axes. MF₁ = MF₂ is called linear eccentricity.
How long is semi axis a, given that the linear eccentricity is 4cm and b = 4cm? - 4 blue points.
Let a>b. A tangent line has been constructed that meets the ellipse in point A. Thus we get points B and C. Angle CAB is 90°. Show that MB*MC=a²-b². - 6 red points

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem.
The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. Only this numbers are present: 57, 75. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Sono contento che ti sei addentrata in ellissi“, Bernd disse a sua sorella. “La settimana scorsa abbiamo parlato dei principi di Kepler e questi trattano dei ellissi. Ecco qualche informazione sul mio disegno.”

F₁ e F₂ si chiamano fuochi e stanno nell‘ interno. Per ogni punto A sull‘ ellise la somma AF₁ + AF₂ è sempre uguale. M denomina il centro, a (Z₁M) e b (Z₂M) sono I semiassi. MF₁ = MF₂ è denominato distanza focale.
Quale misura ha la semiasse a, se la distanza focale è 4 cm e b = 4 cm? (4 punti blu)
Sia a > b. In un punto A è stato tracciato la tangente. Di questa sorgono I punti B e C. L`angolo CAB abbia 90°. Si verifica l’equazione MB*MC=a²-b². (6 punti rossi)
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. Sono compresi i numeri: 57, 75 ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösungen von Karlludwig (zwei Varianten rot)  --> pdf <-- und Reinhold M, danke.

Z1 und Z2 liegen auf der Ellipse. Es gilt also
 Z1F1 + Z1F2 = Z2F1 + Z2F2
bzw. mit der Bezeichnung e für die Brennweite
 Z1F1 + Z1F2 = (a - e) + (a + e)
             = 2 a
             = Z2F1 + Z2F2
             = Wurzel(e^2 + b^2) + Wurzel(e^2 + b^2)
             = 2 Wurzel(e^2 + b^2),
woraus durch Quadrieren und Umformen
 e^2 = a^2 - b^2
folgt, d.h.
 e = Wurzel(a^2 - b^2).
Für "blau" mit e = b = 4 (alles in cm) reicht uns aber zunächst
 a = Wurzel(e^2 + b^2)
   = 4 Wurzel(2)
   ≈ 5,66.

Für "rot" lege ich die Ellipse nun in ein kartesisches Koordinatensystem mit M = (0; 0), Z1 = (-a; 0), Z2 = (0; b). Dann gilt für einen beliebigen Punkt A = (xA; yA) (vgl. oben)
 2 a = AF1 + AF2
     = Wurzel((xA + e)^2 + yA^2) + Wurzel((xA - e)^2 + yA^2),
also
 Wurzel((xA + e)^2 + yA^2) = 2 a - Wurzel((xA - e)^2 + yA^2).
Durch Quadrieren und Umformen folgt daraus
 a Wurzel((xA - e)^2 + yA^2) = a^2 - e xA
und daraus wiederum
 0 = a^2 (a^2 - e^2) - a^2 yA^2 - (a^2 - e^2) xA^2,
mit a^2 - e^2 = b^2 (vgl. oben) also
 a^2 yA^2 + b^2 xA^2 = a^2 b^2
bzw.
 yA^2/b^2 + xA^2/a^2 = 1
oder
 yA = +- b/a Wurzel(a^2 - xA^2).
Der Anstieg (1. Ableitung) ist damit
 +- b/a * 1/2 * 1/Wurzel(a^2 - xA^2) * (-2 * xA) = - b^2/a^2 xA/yA
und mit
 yA - (- b^2/a^2 xA/yA xA) = (a^2 yA^2 + b^2 xA^2) / (a^2 yA^2)
                           = b^2/yA^2
die Gleichung der Tangente in A
 y = - b^2/a^2 xA/yA x + b^2/yA.
Damit folgt
 C = (a^2/xA; 0).
Die Normale in A hat folglich den Anstieg
 - 1/(- b^2/a^2 xA/yA) = a^2/b^2 yA/xA
und mit
 yA - a^2/b^2 yA/xA xA = - yA (a^2/b^2 - 1)
die Gleichung
 y = a^2/b^2 yA/xA x - yA (a^2/b^2 - 1).
Damit folgt
 B = ((1 - b^2/a^2)xA; 0).
Es gilt also
 MB * MC = (1 - b^2/a^2)xA * a^2/xA
         = a^2 - b^2,
q.e.d.

Mit der Umschrift
 ABCD / AE =  FD
    -    *     +
  GBD +  H = GBI
    =    =     =
  FIJ - DF = FCH
des "Symbolrätsels" folgt zunächst
 J = 0 und A = 1 (1. Spalte).
Dann müssen wir erstmal sammeln:
 F + H = 10 und C + D = I - 1 (3. Zeile),
 D + H = I (2. Zeile),
also
 I > H,
so dass der 3. Spalte folgt
 D + I = H + 10, F + B = C + 9, F = G + 1,
zusammen also
 I = H + 5,
 C = H - 1 = I - 6 = 9 - F >= 2,
folglich
 F <= 7, I >= 8, C <= 3, H <= 4,
und
 I + B = C + 10, 2 F = B + 10 (1. Spalte),
also
 3 <= B <= 4, B gerade, d.h.
 B = 4, F = 7, G = 6, I = 8, C = 2, H = 3, D = 5.
Damit folgt noch
 E = 9 (1. Zeile oder Spalte).
Die Lösung ist zusammengefasst
 1425 / 19 =  75
    -    *     +
  645 +  3 = 648
    =    =     =
  780 - 57 = 723
- und 57 sowie 75 sind tatsächlich enthalten ;-)