Serie 60

Aufgabe 4

712. Wertungsaufgabe

deu

„So, wie gesagt, auch hier das Dreieck ABC des Pythagoras (3-4-5).“, sagte Maria zu ihrer Freundin Lisa.
Zu erkennen sind der schwarze Umkreis des Dreiecks (Mittelpunkt M), die blauen Quadrate an den Seiten des Dreiecks und der grüne Kreis (Mittelpunkt M, der Radius ist MG).
Wie viel Prozent des Flächeninhaltes des schwarzen Umkreises werden vom Dreieck bedeckt? Wie groß ist der Radius des grünen Kreises? (3 + 4 blaue Punkte.)
Gesucht sind Radius und Mittelpunkt eines Kreises, dessen Radius kleiner ist als der des grünen Kreises und trotzdem die gesamte Figur umschließt oder gibt es keinen? 7 rote Punkte.
Konstruktion als Nachweis reicht nicht. (Für den Fall der Existenz ist nicht notwendigerweise zu zeigen, dass der gefundene der kleinstmögliche ist.)

Termin der Abgabe 19.05.2022. Срок сдачи 19.05.2022. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.05.2022. Deadline for solution is the 19th. May 2022. Date limite pour la solution 19.05.2022. Soluciones hasta el 19.05.2022. Beadási határidő 2022.05.19. 截止日期: 2022.05.19 – 请用徳语或英语回答

chin

第712题

“我们说过，这个也是毕达哥拉斯三角形ABC（3-4-5）。”玛丽亚对她的朋友丽莎说。
可以看出来，三角形外围的黑色的圆是以点M为圆心；这些蓝色的正方形的边长分别是三角形的每条边的长度；绿色的圆是以点M为圆心，MG的长度为半径。
请问三角形的面积占黑色圆的面积的百分比是多少？ 绿色圆的半径是多少？ （3 + 4 个蓝点。）
请找到一个圆的半径和圆点，使这个圆的半径小于绿色圆的半径，且包括所有的图形在内？或者证明不存在这样的圆？ 7个红点。
不能只用构图法证明。（如果存在这样的圆，那么不需要证明找到的这个圆可能是最小的。）

提交截止日期为 2022年5月19日 – 请用德语或回答

russ

«Как я уже сказала, здесь тоже треугольник АВС Пифагора (3-4-5)», — сказала Мария своей подруге Лизе.
Можно увидеть чёрную описанную окружность треугольника (центр M), синие квадраты по сторонам треугольника и зелёный круг (центр M, радиус MG).
Сколько процентов площади чёрного круга занимает треугольник? Каков радиус зелёного круга? (3 + 4 синих очка)
Искомы радиус и центр круга, радиус которого меньше чем у зелёного круга, и всё же охватывает всю фигуру, или такого круга нет? 7 красных очков
Построение в качестве доказательства недостаточно. (В случае существования нет необходимости показать, что найдённый круг является наименьшим из возможных.)

hun

„Tehát, ahogy mondtam, itt is Püthagorasz ABC háromszöge van” – mondta Mária a barátnőének, Lisának.
Látható a fekete kör a háromszög körül (középpontja M), az oldalain a kék négyszögek és a zöld kör (középpontja M, sugara MG).
Hány százaléka a fekete körnek fedett a háromszöggel? Mekkora a sugara a zöld körnek? (3+4 kék pont)
Keressük annak a háromszögnek a sugarát és középpontját, amelyik sugara kisebb, mint a zöld köré és mégis az egész formát körülveszi, vagy nincs is ilyen? 7 piros pont
Szerkesztés, mint bizonyítás nem elegendő. (Abban az esetben, ha a létezik, nem szükséges bebizonyítani, hogy a megtalált a legkisebb.)

frz

"Comme je l'ai déjà dit, ceci est aussi un triangle ABC de Pythagore (3-4-5)", a déclaré Maria à son amie Lisa.
Tu peux voir le périmètre noir du triangle (centre M), les carrés bleus sur les côtés du triangle et le cercle vert (centre M, le rayon est MG).
Quel pourcentage de la surface du périmètre noir est couvert par le triangle ? Quel est le rayon du cercle vert ? (3 + 4 points bleus.)
Trouve le rayon et le centre d'un cercle dont le rayon est plus petit que celui du cercle vert et qui entoure toujours la figure entière, ou n'y en a-t-il aucun ? 7 points rouges.
La construction comme preuve ne suffit pas. (Dans le cas de l'existence, il n'est pas nécessaire de montrer que celui trouvé est le plus petit possible.)

esp

"Así que, como dije, aquí también está el triángulo ABC de Pitágoras (3-4-5)", le dijo María a su amiga Lisa.
Puedes ver el perímetro negro del triángulo (centro M), los cuadrados azules de los lados del triángulo y el círculo verde (centro M, el radio es MG).
¿Qué porcentaje del área del perímetro negro está cubierto por el triángulo? ¿Cuál es el radio del círculo verde? (3 + 4 puntos azules.)
Buscamos el radio y el centro de un círculo cuyo radio es menor que el del círculo verde y sigue encerrando toda la figura o ¿no hay ninguno? 7 puntos rojos. La construcción como prueba no es suficiente. (En el caso de la existencia, no es necesario demostrar que la encontrada es la más pequeña posible).

en

"So, as I said, here again is the triangle ABC of Pythagoras (3-4-5)," Maria told her friend Lisa.
You can see the black perimeter of the triangle (centre M), the blue squares on the sides of the triangle and the green circle (centre M, the radius is MG).
What percentage of the area of the black perimeter is covered by the triangle? What is the radius of the green circle? (3 + 4 blue points.)
We are looking for the radius and centre of a circle whose radius is smaller than that of the green circle and yet encloses the entire figure, or is there none? 7 red points.
Construction as proof is not enough. (In the case of existence, it is not necessary to show that the one found is the smallest possible).

Deadline for solution is the 19th. May 2022.

it

„Ecco di nuovo il triangolo di pitagora ABC (3-4-5)”, Maria diceva a sua amica Lisa.
Nel disegno si vedono in nero il circuito del triangolo (centro M), i quadrati blu, eretti sui lati del triangolo ed un cerchio verde (centro M, raggio MG). Quale percentuale dell’area del circuito nero è coperto dal triangolo ABC? Qualè la misura del raggio del cerchio verde? ((3 + 4 punti blu)
Si cercano il raggio ed il centro di un cerchio con le caratteristiche seguenti: il suo raggio deve essere più piccolo di quello del cerchio verde, ma ugualmente deve circondare la figura intera. O forse un tale non esiste neanche? 7 punti rossi
Una costruzione non basta come dimostrazione.
Nel caso che un tale cerchio esiste, non si deve dimostrare che quello trovato sia il più piccolo possible.

Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:

 Eine knappe Lösung von Hans, danke. --> pdf <--
Ausführlicher - die Lösung von Dietmar Uschner, danke --> pdf <--