Serie-14

Aufgabe 1

Na Mike, so schwer war deine Behälteraufgabe ja am Ende nicht. Na ja, wenn es weiß. Mal sehen wie es mit der alten Piratenaufgabe steht. Wie geht die denn? Also die Piraten haben ein Schiff überfallen und die Mannschaft des gekarperten Schiffes soll getötet. Da sieht der Steuermann der Piraten, dass unter den Gefangenen ein Schiffofizier ist, der ihn zu friedlichen Zeiten in Navigation und Mathematik ausgebildet hat und immer recht freundlich war. So überredet er seinen Kapitän den Mann zu verschonen. Was ist der Mathematiker, na gut wenn er folgende Aufgabe löst sollen er und die Mannschaft verschont werden, sie kriegen eine faire Chance und könnten mit einem Beiboot unser Schiff verlassen. Also ich habe 3 Sanduhren, die eine läuft genau 7 Minuten, die 2. genau 11 Minuten und die dritte genau 15 Minuten. Der Mathematiker geht unter Deck und bekommt die zwei Sanduhren mit 7 und 11 Minuten. Ich werde auf ein Zeichen hin die 15 Minuten-Sanduhr laut und deutlich vernehmbar umdrehen. Wenn der Mathematiker mit dem letzten Sandkorn meiner Uhr das Wort stop ausspricht, dann sind die frei. Gesagt getan, der Kapitän dreht seine Sanduhr um und wartet, nach genau 15 Minuten ertönt ein "stop" vom Mathematiker.
Scheint ja echt cool zu sein der Mathematiker, stimmt, aber wie hat er es gemacht? Für die genaue Beschreibung kann man sich 4 Punkte gut schreiben lassen.

schnellste Lösung von Christian Wagner, vielen Bank
Gesucht ist wie man mit einer 11 und einer 7 Minuten Sanduhr genau 15 Minuten abmessen kann.
Anfangs dreht man beide Sanduhren um. Nach 7 Minuten dreht man die 7-Minuten-Uhr, die jetzt leer ist, um. Nach weiteren 4 Minuten ist die 11 Minuten-Uhr leer. Nun sofort die 7-Minuten-Uhr umdrehen, die nach dem Umdrehen genau für 4 Minuten Sand enthält (denSsand der von Minute 7 bis Minute 11 ja runterrieseln konnte). Ist dieser Sand auch durchgelaufen sind die 15 Minuten rum.

Aufgabe 2

Mensch Bernd, das war ja ein Ding mit den Sanduhren. Eigentlich nicht kompliziert, aber das der Mathematiker bei den Piraten so schnell darauf gekommen sein soll, nun ich weiß nicht.
Aber mal was anders, meinte Mike. Du hattest doch vor kurzem Geburtstag. Ja stimmt, und? Nun dieses Datum hat etwas Geheimnisvolles. In wie fern? Es war der 14.07.2006. Dies als eine Zahl geschrieben ist 14072006, klar und weiter. Nun, wenn ich davon die Quersumme abziehe (1 + 4 + 0 + 7 + 2 + 0 + 0 + 6 = 20) dann ist das Ergebnis 14071986 durch 9 teilbar. Stimmt. Ich probiere das mal mit deinem Geburtstag. Für deinen Geburtstag trifft das aber auch zu.
Ist es möglich aus der Eigenschaft Geburtstagszahl minus Quersumme - der Geburtstagszahl - ist durch 9 teilbar den Geburtstag näher zu bestimmen? Zu erreichen sind 3 Punkte.

Die Eigenschaft trifft auf alle Geburtstag zu. Man kann also nicht auf den Geburtstag schließen.
Die ersten Einsendungen beriefen sich auf die Teilbarkeitsregel für die 9 und Teilbarkeitregel für Differenzen.
Kurz: Die Datumszahl hat bei der Division durch 9 einen bestimmten Rest (0; 1; ... oder 8), die Quersumme der Datumszahl hat gemäß der Teilbarkeitsregel für die 9 den gleichen Rest. Dann aber ist die Differzen der beiden Zahlen gemäß der Teilbarkeitsregel für Differenzen ohne Rest durch 9 teilbar.
Andere Einsendungen gingen so vor: Datum ist 8-stellig: abcdefgh (Buchstabe steht für eine Ziffer)
Datumszahl: 10.000.000a + 1.000.000b + 100.000c + 10.000d + 1.000e + 100f + 10g + h (Dezimale Darstellung)
Davon wird die Quersumme (a + b+ c+ d+ e + f + g + h) abgezogen, das ergibt:
9.999.999a + 999.999b + 99.999c + 9.999d + 999e + 99f + 9g = x
Das diese Zahl x durch 9 teilbar ist liegt wohl auf der Hand
optische Umsetzung der Aufgabe für zweistellige Zahlen

Aufgabe 3

Eigentlich schade, dass unsere Geburtstage keine Geheimnisse in sich tragen, meinte Mike. Da wäre ich mir nicht so sicher hielt Bernd dagegen, bestimmt wird der Mensch, der sich uns ausgedacht hat, auch da noch was finden.
Ich habe erst einmal anderen Ärger. Was denn? Nun meine Schwester Maria hatte als Hausaufgabe ein Ziffernblatt zu zeichnen und ich habe das aus Versehen mit zwei glatten geraden Schnitten durchgeschnitten. Nun muss ich für sie das noch mal zeichnen. Du machst aber auch Sachen, wo hast du dein Missgeschick. Das liegt dort auf dem Schreibtisch. Glückwunsch, meinte Mike. Spinnst du, wieso denn Glückwunsch? Du hast das Ziffernblatt so zerschnitten, dass auf den drei Teilen, die Summe aller Zahlen jeweils genau gleich groß ist.

Wie hat Bernd das Ziffernblatt zerschnitten? (Angabe der Lösung und Probe bringt 3 Punkte)

Die Summe aller Zahlen auf der Uhr ist 78. Daraus folgt, dass auf den 3 Teilen eine Summe von jeweils 26 sein muss. Das Bild zeigt die geteilte Uhr:

oben: 11 + 12 + 1+ 2 = 26
Mitte: 9 + 10 + 3 + 4  = 26
unten: 5 + 6 + 7 + 8    = 26
Die Probe zeigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

Aufgabe 4

Bernd was machst du denn mit dem Kreis, hast du schon wieder die Uhr von Maria zerschnitten? Ach was, wie du siehst habe ich gar keine Schere dabei, sondern entwerfe erst mal eine Figur, die zur Aufgabe passt, die mir Opa aus seinen altem Matheheft vorgelesen hat. Worum geht es denn?
Es ist ein Kreis zu zeichnen. Auf diesem Kreis werden drei beliebige Punkte ausgewählt, die allerdings nicht paarweise auf einem Durchmesser liegen dürfen. Nun wird in diesen Punkten jeweils die Tangente an den Kreis konstruiert. Diese Tangenten schneiden sich. Die Schnittpunkte bilden ein Dreieck ABC. Na da ist doch nichts Besonderes dabei. Da hättest du auch gleich ein Dreieck nehmen können und um dann den Innenkreis konstruieren. Im Prinzip schon, da hast du recht. Die Aufgabe zu zeigen, dass es einen Kreis gibt, so dass alle möglichen Dreiecke, die man um ihn herum konstruieren kann, die Eigenschaft haben, dass der Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks gleich der Maßzahl des Umfangs des Deiecks sind. Wie jetzt? Pass auf, am besten alles auf cm Basis. Gesucht ist der Radius des Kreises, so dass wenn A = 20 cm² groß ist, dann soll eben u = 20 cm sein, aber auch wenn A = 30 cm² groß ist, dann soll eben u = 30 cm sein. Und so einen Zauberkreis soll es geben?
Wer zeigen kann, ob es so einen Kreis gibt oder nicht geben kann, der erhält 10 Punkte, wenn die Lösung den Weg für die Herleitung des Zusammenhangs zwischen Radius (des Innenkreises) und Flächeninhalt sowie Umfang des Dreiecks einschließt. Wird eine schon irgend woher besorgte Formel verwendet, sind 4 Punkte möglich. Für die begründete Antwort, wie groß denn das kleinste Dreieck ist, für das diese Bedingung zutrifft, der kann sogar noch einmal 2 Punkte erhalten.

Herleitung von Annika, vielen Dank: pdf
Zum kleinsten Dreieck, die Anmerkungen von XXX, danke
Unter den Dreiecken mit Inkreisradius 2 gibt es solche mit zwei verschiedenen Seiten Ein solches hat aber stets eine größere Fläche als ein gleichschenkliges, hier gestrichelt angedeutet. Für ein gleichseitiges Dreieck führt dann die Bewegung der Berührpunkte zu größeren Dreiecken. Das zeigt nicht, dass das flächenkleinste Dreieck das gleichseitige ist, lediglich, dass kein anderes flächenkleinstes sein kann .. Das gesuchte kleinste Dreieck ist ein gleichseitiges mit Inkreisradius 2.

Aufgabe 5

Ach oh je, über den Kreis muss ich noch etwas nachdenken, gut dass diesmal zwei Wochen Zeit sind. Hast du nicht noch etwas anderes aus dem Hefter vom Opa. Aber klar, schau mal:

Und worum geht es da? Also, du nimmst zwei Quadrate, eines mit der Kantenlänge 20 cm und eines mit der Kantenlänge 10 cm. Das Kleinere wird rechts genau an das Große gelegt und zwar irgendwo, ob unten, ob oben zwischenrein eben irgendwie Hauptsache genau dran. Dann werden die oberen rechten Ecken der Quadrate mit einer Geraden verbunden, anschließend die rechten unteren Ecken. Die Geraden schneiden sich dann in einem Punkt. Die Geraden bilden also mit der Kante des großen Quadrats ein Dreieck, fragte Mike nach. Genau. Die Frage ist nun, wie groß ist die Dreiecksfläche? Das wird ja wohl davon abhängen, wo sich das kleine Quadrat befindet. Sieht so aus, muss aber nicht sein.
Die Lösung für eine spezielle Lage bringt 4 Punkte ein, die allgemeine Lösung ist 8 Punkte wert.

Hier die Beschreibung von Doreen Naumann, danke
Auch hier zunächst eine Beschreibung meiner Zeichnung.
Wir haben ein großes Quadrat mit einer Kantenlänge von 20 cm und genau obendrauf ein weiteres von 10 cm Kantenlänge. Nun verbinden wir die beiden oberen rechten und die beiden oberen linken Ecken. Die Geraden bilden mit der oberen Kante des großen Quadrats ein großes Dreieck(gD).
Die Lücke zwischen den linken Kanten des großen und kleinen Quadrats bezeichnen wir mit a, die Lücke zwischen den rechten Kanten des großen und kleinen Quadrats bezeichnen wir mit b.
10+a+b=20
Das große Dreieck setzt sich aus mehreren Teilen zusammen: aus dem kleinen Quadrat, dem kleinen Dreieck links der linken Kante des kleinen Quadrats(D1), dem kleinen Dreieck rechts der rechten Kante des kleinen Quadrats(D2) und dem kleinen Dreieck über der oberen Kante des kleinen Quadrats(D3).
Wenn man die kleinen Dreiecke links und rechts "zusammenschiebt"(d.h.das kleine Quadrat rausnimmt), entsteht ein Dreieck, das zu dem oberen Dreieck kongruent ist. Dazu müssen eine Seite und die zwei anliegenden Winkel übereinstimmen.
Seitenübereinstimmung: 10-Kantenlänge des kleinen Quadrats a+b=10
Winkelübereinstimmung: Übereinstimmung des linken Winkels im großen und im kleinen oberen Dreiecks, weil Stufenwinkel
Übereinstimmung des rechten Winkels im großen und im kleinen oberen Dreiecks, weil Stufenwinkel
Nun geht es an die Berechnung des Flächeninhalts:
b=10-a
D1: A1=1/2*10*a=5*a
D2: A2=1/2*10*b=5*(10-a)
A=A1+A2
A=5*a+5*(10-a)
A=50
Das ist gleichzeitig der Flächeninhalt von D1+D2 sowie von D3.
Nun müssen wir nur noch zusammenrechnen:
A(gD)=2*(A1+A2)+A(kleines Quadrat)
A(gD)=2*50+10²
A(gD)=200
Damit beträgt der Flächeninhalt des großes Dreiecks immer 200cm², egal wo man des kleine Quadrat platziert.

Aufgabe 6

Das war ganz schön knifflig, was dein Opa in seinem Hefter hatte. Da gebe ich dir Recht, meinte Bernd.
Ist dir eigentlich klar gewesen, dass wir mit dem letzten Freitag, den 13. richtig Glück hatten. Wie das denn, nun die Quersumme vom 13.10.2006 war ebenfalls 13. Ist das wirklich so selten? Wie oft gibt es eigentlich einen Freitag den 13. im Jahr? Am besten, wir erstellen uns mal eine Tabelle, günstig ist dabei sicherlich, wenn man Schaltjahre und Nichtschaltjahre getrennt betrachtet. Das war mir schon klar, meinte Mike. Das ist aber nicht besonders schwierig, na und, auch wenn man das Ganze nur auszuzählen braucht, so ist doch eine solche vollständige Übersicht mal ganz interessant.
Gab es in diesem Jahrtausend eigentlich schon mal einen solchen glücklichen Freitag, den 13.? Und wann wird es den nächsten geben?
Schaltjahrtabelle 3 Punkte, Nichtschaltjahrtabelle 3 Punkte, vorausgegangener glücklicher Freitag - 1 Punkt, nächster glücklicher Freitag noch einmal 2 Punkte, so sind also 9 Punkte möglich.

Ich war mal faul und habe die Tabellenkalkulation für mich arbeiten lassen. So ein Jahr beginnt bekanntlich an einem Wochentag, da es 7 verschiedene gibt, braucht man also die Varianten nur für die Wochentage durchzugehen. So ein Zyklus dauert insgesamt 28 Jahre (4*7), wobei sich zwischendurch schon Anfangstage wiederholen. Aus der Tabelle sind die Freitage gut zu erkennen - rot unterlegt. Die gelb unterlegten Zeilen sind weiter oben schon erfasst und nur der Vollständigkeit halber mit dabei, genau wie die letzte Zeile für das Jahr 2028, denn die entspricht dem 29. Jahr in der Tabelle.

Aufgabe 7

Na da bin ich ja beruhigt, dass es bis zum nächsten Freitag, den 13. noch etwas dauert. Wie so dass denn, fragte Mike. Nun, ich war letzte Woche bei meiner Tante und im Gespräch sind wir auf die Aufgabe gekommen. Die wollte von diesem glückliche 13.10.2006 gar nichts wissen, denn da war die Temperaturanzeige an ihrem Babykostwärmer kaputt gegangen. So stand sie vor dem Problem, ohne Thermometer die richtige Temperatur der Milch für ihren Liebling hinzubekommen. Bis dahin hatte sie einfach die kalte Milch aus dem Kühlschrank genommen und auf 30 Grad erwärmt. Du meinst doch Celsius, na klar, der Mann, der sich uns ausdenkt, will bloß nicht immer Celsius schreiben. Aha. Wie hat sich denn deine Tante behelfen können, fragte Mike weiter. Hat sie einen neuen Babykostwärmer gekauft? Nein, hat sie nicht, war wohl auch zu teuer. Nun, sie hatte in der Anleitung gelesen, dass die Endtemperatur des Babykostwärmers bei 70 Grad liegt. Wenn sie also die Milch bis zum Abschalten des Geräts drinlässt, dann sind das 70 Grad. Der Kühlschrank war auf 6 Grad eingestellt. Ah, verstehe, meinte Mike. Wie, was verstehst du, fragte Bernd. Na ja mal angenommen, sie braucht genau 250 ml Milch, welche 30 Grad warm sein soll, dann kann sie doch mit einem Messbecher, die Milch abmessen, die sie aus kalter und heißer Milch mischen muss um die gewünschten 250 ml, die 30 °C heiß sein sollen, zu erhalten. (Eh, jetzt hat der doch °C geschrieben)
Wie mixt die Tante das nun zusammen? Zu erreichen sind bei physikalisch - mathematisch richtiger Rechnung 4 Punkte.

Sehr ausfürliche Lösung von Mike Pfaffe, danke:
Da wir die Wärmekapazität des Mischgefäßes nicht kennen, müssen wir annehmen, dass die von der warmen Milch abgegebene und die von der kalten Milch aufgenommene Wärme gleich sind.

Bezeichnet man nun die Größen der kalten Milch mit dem Index K und die der warmen mit dem Index W. so erhält man:

wobei die Mischungstemperatur ist. Vernachlässigt man die Ausdehnung der Milch bei Erwärmung, so erhält man:

Die Tante muss also ca. 156ml kalte und 94ml warme Milch mischen. Die Zerstörung der Illusion, es sein eine einfache Aufgabe gab XXX, danke:
Zunächst ist da ein verstecktes Problem, die Dichte! Wir sollen 250ml erwärmen, aber die Wärmekapazität geht über die Masse. Um das richtige Mischverhältnis anzugeben, muss man also die Dichte reinrechnen - oder aber die Messungen bei gleicher Dichte machen, sprich, vor dem Erwärmen messen! Beim Mischen gibt die warme Milch (proportional zu ihrer Masse und der Temperaturdifferenz von 40°) innere Energie ab, die kalte nimmt umgekehrt Innere auf, proportional zu deren Masse und der Differenz von 24°. Das Verhältnis von 40 : 24 = 5 : 3 muss sich nun umgekehrt in den Massen niederschlagen, also 5 : 3 für die kalte Milch.
Nehmen wir nun 250ml mal 5/8, also 156,25 ml Milch, die wir kühlschrankkalt lassen und 250ml mal 3/8, also 93,75 ml Milch, die wir auf 70° erwärmen, haben wir Milch, die sich genau auf 30° mischt. Wegen der Wärmeausdehnung aber etwas mehr als 250 ml. Dieses Bisschen kosten wir nun fürsorglich vor beim Abmessen und erhalten 250 ml angenehm warmer Milch.
Wer nur 156,25 ml kalte Milch mit 93,75 ml warmer mischt, bekommt wegen der höheren Dichte der kalten Milch eine zu geringe Temperatur - und auch das Volumen stimmt wohl nicht!
Wer 250ml kalte Milch im Verhältnis 5:3 teilt und drei Teile erwärmt, bekommt Milch richtiger Temperatur, wegen der Wärmeausdehnung aber zuviel!

Aufgabe 8

Auf die Dauer ist es wahrscheinlich doch besser, wenn sich deine Tante einen neuen Babykostwärmer holt, meinte Mike. Das ist einfacher als jedesmal die Rechnung auszuführen, wobei so schlimm ist sie ja am Ende nicht. Kommst du nachher mit in die neue Computerecke in der Bibliothek? Ich muss sowieso noch Bücher abgegeben und kann dann gleich mal noch was zum Thema Aufgabe der Woche herausfinden. Klar kein Problem.
Bernd gab die Bücher ab und Mike ging schon mal zu den 4 Computern. Er musste warten, denn alle 4 waren besetzt. Na ehe die 4 fertig sind, wird es wohl dauern. Er kannte die 4 Leute recht genau, da sie aus der Parallelklasse waren. Da saßen Anne, Britta, Christian und Dirk an den vier nebeneinander stehenden Computerplätzen 1; 2; 3 und 4. An den Monitoren befanden sich ein grüner, blauer, weißer bzw. roter Punkt. Auf den 4 Mousepads erkannte Mike verschiedene Motive: eine Brücke, einen Turm, ein schnelles Auto und auf dem vierten waren lauter Smyleys drauf. Mike wartete eine Weile, dann ging er Bernd suchen, der saß auf einem Lesesofa und hatte schon wieder ein Buch in der Hand. Mike setzte sich dazu und erzählte ihm, dass die vier Computerplätze durch die 4 Leute aus der Parallelklasse besetzt seien. Wer sitzt eigentlich an welchem Platz? Pass auf, wenn ich dir 4 Tipps gebe, solltest du herausbekommen, wer an welchem Platz sitzt, welcher Punkt an dem jeweiligen Monitor klebt und welches Mousepad zu dem Arbeitsplatz gehört. Na dann los:
1. Britta hat die Smyleys auf dem Mousepad, war ja klar.
2. Bei dem Monitor mit dem weißen Punkt lag das Mousepad mit dem schnellen Auto drauf, das ist der Platz direkt links neben Christian.
3. Dirks Mousepads, auf dem nicht die Brücke war, lag am Computer 4, ach ja das war dann ganz rechts, so wie Platz 1 eben ganz links ist.
4. Der rote Punkt klebte am 2. Monitor, wobei vor dem Monitor mit dem blauen Punkt nicht das Mousepad mit dem Turm lag.
Puh, die Infos sollen reichen um die Aufgabe zu lösen. Ja, das reicht, am besten du versuchst erst mal herauszufinden an welchem Rechner der weiße Punkt klebt.
Zu erreichen sind 8 Punkte, ein ausführlicher Lösungsweg ist nicht erforderlich.

Auch wenn es kein ausführlicher Lösungsweg sein sollte, so war doch wenigstens einige Bemerkungen angebracht, um die Verteilung zu untermauern.
Um so besser, wenn dann der Hinweis ignoriert wird und trotzdem alles benannt wird.
Hier die Lösung von Doreen N., danke.
Zunächst mal erstellen wir eine Tabelle. Nach Hinweis 3 wissen wir , dass die Plätze von links nach rechts durchnummeriert werden. Oben im Tabellenkopf stehen die Zahlen 1-4, links untereinander steht Name, Mousepadmotiv und Farbe.
Nun kann man schrittweise die Tabelle ausfüllen.
1) Eintragen der bekannten Dinge: nach Hinweis 3 ist Dirk an 4, nach Hinweis 4 ist rot an 2
2) nach Hinweis 2 ist weiß und Auto an 1, denn 2 ist nicht möglich, da belegt von rot; 4 nicht möglich, da weiß+Auto links
von...liegen soll; 3 nicht möglich, da es links von Christian liegen soll
und an 4 ist Dirk
3)nach Hinweis 2 ist Christian nun an 2
4)nach Hinweis 1 ist Britta + Smileys an 3, da nur hier noch Name und Mousepadmotiv an einem Platz frei ist
5)letzter freier Name ist Anne an 1
6)nach Hinweis 3 hat Dirk nicht die Brücke als Mousepadmotiv->Brücke an Platz 2->Turm an Platz 4
7)nach Hinweis 4 blauer Punkt nicht mit Turm als Mousepadmotiv->blau an 3->grün an 4
Nun ist unsere Tabelle vollständig. Jetzt wissen wir, wer wo sitzt.
Platz 1: Anne, weißer Punkt, Auto auf Mousepad
Platz 2: Christian, roter Punkt, Brücke auf Mousepad
Platz 3: Britta, blauer Punkt, Smileys auf Mousepad
Platz 4: Dirk, grüner Punkt, Turm auf Mousepad

Aufgabe 9

Das nächste Mal gehe ich lieber nachschauen, wer wo sitzt. Denn ich hatte doch ganz schön zu tun, um aus deinen Angaben herauszufinden, wer wo saß, meinte Bernd. Na komm, übertreib nicht. Lass uns ins Kino gehen, okay.
In dem Film spielt ein cooles Motorboot eine wichtige Rolle. Zu Beginn des Films fährt es mit der Strömung (die sich nicht verändert) genau 4 Stunden, so kann man es der eingeblendeten Uhr des Haupthelden entnehmen. Gegen Ende des Films wird das Boot mit der gleichen Geschwindigkeit zurück gebraucht. Allerdings dauert das jetzt ganze 6 Stunden. Ach Mike, so ein Boot ist zwar nicht schlecht, aber ich hätte mich lieber mit einem Floß einfach nur treiben lassen. Das geht aber nur mit der Strömung, sagte Mike. Logo, aber trotzdem, es war doch so eine schöne Landschaft, durch die da gerast wurde. Da hast du recht und ich weiß, sogar wie lange du dich hättest treiben lassen können. Ach ja?
Wie lange hätte die Floßfahrt gedauert? (4 Punkte) und wie lange hätte das Motorboot für die Strecke gebraucht, wenn es keine Strömung gegeben hätte - z.B. auf einem ruhigen See? (2 Punkte)

Hier die Lösung von Andreas Walter, danke:
Es gilt:
s = v * t ;
vs : Geschwindigkeit der Strömung
vm : Geschwindigkeit des Motorbootes
th : Zeit für den Hinweg
tr : Zeit für den Rückweg
Hinweg:
s = ( vm + vs ) * th
= ( vm + vs ) * 4 h
Rückweg:
s = ( vm - vs ) * tr
= ( vm - vs ) * 6 h
daraus folgt:
( vm + vs ) * th = ( vm - vs ) * tr
( vm + vs ) * 4h = ( vm - vs ) * 6h
10 vs = 2 vm
vm = 5 vs bzw. vs = 1/5 vm
Jetzt die Rechnung für die Fahrt mit dem Floß:
s = ( vm + vs ) * 4 h
= vs * x
daraus folgt:
x= (5 vs + vs )/ vs * 4h = 24 h
Für die Dauer der Fahrt im Boot ohne Strömung ergibt sich:
- mit Strömung: s = ( vm + vs ) * 4 h = (1+ 0,2 ) * vm * 4h
- ohne Strömung: s = vm * t
daraus folgt: t = (1+ 0,2 ) * 4h = 4,8 h
Die Fahrt ohne Strömung dauert also genau 48 min länger.

Aufgabe 10

Du hattest Recht, sich einen ganzen Tag lang mit einem Floß treiben zu lassen, das wäre echt cool, meinte Bernd. Apropos cool, für so eine Tour ist es momentan doch etwas zu kalt. Aber ein normaler Spaziergang sollte gehen, oder? Keine Zeit, ich muss erst noch den Spaziergang von Ameisen untersuchen. Wie das denn? Also, zwei Ameisen treffen sich an einer Ecke einer geraden quadratischen Pyramide. Von ihrer Königin haben sie den Auftrag, den kürzesten Weg um die Pyramide zu finden. Na ist doch ganz einfach, meinte Mike, die krabbeln einfach unten um die Pyramide herum und fertig. Das meinte auch die eine Ameise und stürzte los. Die andere überlegte noch ein wenig und nahm einen anderen Weg, der sie ebenfalls um die Pyramide herumführte. Mag ja sein, dass sie überlegt hat, die Frage ist, ob der Weg kürzer ist als am Fuß der Pyramide. Stimmt, dabei gilt es zu bedenken, herum bedeutet, die Ameisen müssen auf ihrem Weg alle 4 Seiten der Pyramide berühren und zum Start zurück. Welche Maße hat denn die Pyramide? Nun in der Aufgabe, von dem der sich uns ausdenkt, soll die Pyramide 50 m hoch sein und eine Grundkantenlänge von 35 m haben.
Wie lang ist der kürzeste Weg für die Ameisen ( nur zeichnerische Lösung 4 Punkte, rechnerisch 7 Punkte)
Hätte der Mann nicht die Maße der Pyramide vor dem Louvre nehmen können? Na gut, wie sieht es denn bei dieser Pyramide aus- 35 m bleiben, aber die Höhe ist nur 21,65 m? (also noch mal (nur)zeichnerische Lösung 4 Punkte, rechnerisch 5 Punkte)
Ist ja ein Ding, da kann also maximal 12 Punkte abfassen, genau!!!

Zunächst erst einmal die Pyramide nur mal so:

Und nun ein Netz:

Wie man an dem Netz erkennen kann, führt der kürzeste Weg um die Pyramide nicht an der Grundkante entlang, sondern bei einem Winkel von weniger als 180° an den zusammengelegten Spitzen über die Seiten, so schräg hoch und runter. Bei einem Winkel ab 180° einfach die Kante hoch zur Spitze, dort die Berürung aller Seiten und wieder zurück. Es gilt also den Winkel zu ermittlen und dann weiter zu rechnen.
Die Kantenlänge s berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras: s = Wurzel (h² + 1/2 a²) der zweite Teil in der Formel ist die halbe Diagonale der Grundfläche ins Quadrat)
1. Pyramide: s= 55,78 m
Louvre: s= 32,88m
Der Winkel an der Spitze eines Dreiecks lässt sich mit dem Kosinussatz ausrechnen: cos gamma = (2s² -a²)/2s²
1. Pyramide: gamma = 36,57°
Louvre: gamma = 64,31°
Daraus folgt: 1. Pyramide: Der Spitzenwinkel aller vier Dreiecke ist delta = 146,27° Somit trifft das Bild des Netzes zu und der Weg mit mit nochmaliger Verwendung des Kosinussatzes berechnet:
weg= wurzel (2*s² - 2*s²cos delta)
weg = 106,76 m. Der Weg über die Spitze wäre 2 * 55,78 m = 111,58 m lang.
Hingegen für den Louvre(delta = 257,24°) führt der kurze Weg zur Spitze und zurück, ist also 65,76 m lang.

Aufgabe 11

Mike, deine Ameise war echt schlau, das hat sich schon gelohnt, vor allem, wenn man so kurze Beine hat. Mit Beinen hatte es mein Opa vor kurzem auch. Der war nämlich mit seiner Rentnergruppe vor zwei Wochen in Brüssel im Nato-Hauptquartier. Da mussten sie erst einmal warten und so machte der Opa eine erstaunliche Beobachtung.
Zu Beginn lief ein Soldat vor der 210 m langen Fassade auf und ab. Dann war Wachablösung und ein deutlich größerer Soldat nahm seinen Dienst auf. Der zweite Soldat hat eine Schrittlänge, die ziemlich genau 5 cm größer war wie bei dem ersten. Tja und so kam es, dass er genau 20 Schritte weniger für die 210 m brauchte, wie der erste Soldat.
Welche Schrittlängen haben die Soldaten und wie viele Schritte machen sie jeweils? (zu errreichen sind 6 Punkte)
Für die jüngeren Teilnehmer empfehle ich das durch systematisches Probieren heraus zu bekommen und vorher mal auszumessen wie lang so ein Schritt ist bei einem selber ist.

Hier die Lösung von Andreas W., danke.
Sei
a:= Anzahl der Schritte,
x:= Schrittlänge
Aus den Angaben des ersen Soldaten folgt:
210 = a * x
Aus den des Zweiten folgt:
210= (a-20) * (x+0,05)
nach umstellen und einsetzen erhält man z.B.:
0= -20x + 10,5/x -20*0,05
Lösen der Gleichung führt zu
x1= 0,7m
x2=-0,75m entfällt.
Für den ersten Soldaten bedeutet dies:
Schrittlänge x=0,7m , a=300 Schritte auf 210m.
Für den zweiten Soldaten bedeutet dies:
Schrittlänge x=0,75m , a=280 Schritte auf 210m.

Aufgabe 12

Mike, Bernd und dessen Opa sitzen zusammen und knacken Nüsse. Da kommt dem Opa eine Idee für eine Nusspokerrunde. Ohne abzuzählen greift jeder der drei in die Schüssel mit den Nüssen. Also wir machen es so, wenn einer verliert, muss er die Anzahl von Nüssen, die anderen Mitspieler haben aus seinem Bestand auszahlen. Wie jetzt, nun angenommen du hast 10 Nüsse, dann muss ich dir von meinen eben 10 Nüsse geben, habe also 10 weniger als vorher, während sich deine Anzahl verdoppelt hat. Hm, na da bin ich ja mal gespannt. Ach lass uns einfach spielen, meint Mike. Na dann los. Das erste Spiel verliert Bernd, das zweite Mike und das dritte der Opa. Da alle die Nüsse ordentlich vor sich liegen haben, stellt Mike fest, cool jetzt haben wir alle gerade 24 Nüsse. Na wenn das so ist, dann wissen wir, wer sich wie viele Nüsse am Anfang aus der Schüssel genommen hat.
Für das genaue Aufschreiben der Lösung kann man sich 7 Punkte gutschreiben lassen.

Das Ganze ist am besten rückwärts zu betrachten.
Der Opa hatte verloren, musste den anderen beiden ihren vorherigen Spielstand verdoppeln. Also hatte Bernd und Mike am Ende der zweiten Runden je 12 und der Opa 48.
In der zweiten Runde hatte Mike verloren, also hatte der Opa am Ende der ersten Runde 24 Nüsse und Bernd 6. Mike hatte also 42 Nüsse gehabt.
Bernd hat als erster Verlierer dem Opa 12 Nüsse geben müssen und Mike 21, bei 72 Nüssen insgesamt hatte Bernd also vorher 39, Mike eben 21 und Opa lediglich 12.
Nun noch einmal vorwärts: Start: Bernd 39, Mike 21, Opa 12 --> Bernd verliert
Ende 1. Runde: Bernd 6; Mike 42, Opa 24 --> Mike verliert
Ende 2. Runde: Bernd 12; Mike 12, Opa 48 --> Opa verliert
Ende 3. Runde: Bernd 24; Mike 24, Opa 24

Auswertung Serie 14