Serie-14

Aufgabe 4

Bernd was machst du denn mit dem Kreis, hast du schon wieder die Uhr von Maria zerschnitten? Ach was, wie du siehst habe ich gar keine Schere dabei, sondern entwerfe erst mal eine Figur, die zur Aufgabe passt, die mir Opa aus seinen altem Matheheft vorgelesen hat. Worum geht es denn?
Es ist ein Kreis zu zeichnen. Auf diesem Kreis werden drei beliebige Punkte ausgewählt, die allerdings nicht paarweise auf einem Durchmesser liegen dürfen. Nun wird in diesen Punkten jeweils die Tangente an den Kreis konstruiert. Diese Tangenten schneiden sich. Die Schnittpunkte bilden ein Dreieck ABC. Na da ist doch nichts Besonderes dabei. Da hättest du auch gleich ein Dreieck nehmen können und um dann den Innenkreis konstruieren. Im Prinzip schon, da hast du recht. Die Aufgabe zu zeigen, dass es einen Kreis gibt, so dass alle möglichen Dreiecke, die man um ihn herum konstruieren kann, die Eigenschaft haben, dass der Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks gleich der Maßzahl des Umfangs des Deiecks sind. Wie jetzt? Pass auf, am besten alles auf cm Basis. Gesucht ist der Radius des Kreises, so dass wenn A = 20 cm² groß ist, dann soll eben u = 20 cm sein, aber auch wenn A = 30 cm² groß ist, dann soll eben u = 30 cm sein. Und so einen Zauberkreis soll es geben?
Wer zeigen kann, ob es so einen Kreis gibt oder nicht geben kann, der erhält 10 Punkte, wenn die Lösung den Weg für die Herleitung des Zusammenhangs zwischen Radius (des Innenkreises) und Flächeninhalt sowie Umfang des Dreiecks einschließt. Wird eine schon irgend woher besorgte Formel verwendet, sind 4 Punkte möglich. Für die begründete Antwort, wie groß denn das kleinste Dreieck ist, für das diese Bedingung zutrifft, der kann sogar noch einmal 2 Punkte erhalten.

Herleitung von Annika, vielen Dank: pdf
Zum kleinsten Dreieck, die Anmerkungen von XXX, danke
Unter den Dreiecken mit Inkreisradius 2 gibt es solche mit zwei verschiedenen Seiten Ein solches hat aber stets eine größere Fläche als ein gleichschenkliges, hier gestrichelt angedeutet. Für ein gleichseitiges Dreieck führt dann die Bewegung der Berührpunkte zu größeren Dreiecken. Das zeigt nicht, dass das flächenkleinste Dreieck das gleichseitige ist, lediglich, dass kein anderes flächenkleinstes sein kann .. Das gesuchte kleinste Dreieck ist ein gleichseitiges mit Inkreisradius 2.