Serie-14
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Aufgabe 10
Du hattest Recht, sich einen ganzen Tag lang mit einem Floß treiben zu lassen, das wäre echt cool, meinte Bernd. Apropos cool, für so eine Tour ist es momentan doch etwas zu kalt. Aber ein normaler Spaziergang sollte gehen, oder? Keine Zeit, ich muss erst noch den Spaziergang von Ameisen untersuchen. Wie das denn? Also, zwei Ameisen treffen sich an einer Ecke einer geraden quadratischen Pyramide. Von ihrer Königin haben sie den Auftrag, den kürzesten Weg um die Pyramide zu finden. Na ist doch ganz einfach, meinte Mike, die krabbeln einfach unten um die Pyramide herum und fertig. Das meinte auch die eine Ameise und stürzte los. Die andere überlegte noch ein wenig und nahm einen anderen Weg, der sie ebenfalls um die Pyramide herumführte. Mag ja sein, dass sie überlegt hat, die Frage ist, ob der Weg kürzer ist als am Fuß der Pyramide. Stimmt, dabei gilt es zu bedenken, herum bedeutet, die Ameisen müssen auf ihrem Weg alle 4 Seiten der Pyramide berühren und zum Start zurück. Welche Maße hat denn die Pyramide? Nun in der Aufgabe, von dem der sich uns ausdenkt, soll die Pyramide 50 m hoch sein und eine Grundkantenlänge von 35 m haben.
Wie lang ist der kürzeste Weg für die Ameisen ( nur zeichnerische Lösung 4 Punkte, rechnerisch 7 Punkte)
Hätte der Mann nicht die Maße der Pyramide vor dem Louvre nehmen können? Na gut, wie sieht es denn bei dieser Pyramide aus- 35 m bleiben, aber die Höhe ist nur 21,65 m? (also noch mal (nur)zeichnerische Lösung 4 Punkte, rechnerisch 5 Punkte)
Ist ja ein Ding, da kann also maximal 12 Punkte abfassen, genau!!!
Lösung
Zunächst erst einmal die Pyramide nur mal so:
Und nun ein Netz:
Wie man an dem Netz erkennen kann, führt der kürzeste Weg um die Pyramide nicht an der Grundkante entlang, sondern bei einem Winkel von weniger als 180° an den zusammengelegten Spitzen über die Seiten, so schräg hoch und runter. Bei einem Winkel ab 180° einfach die Kante hoch zur Spitze, dort die Berürung aller Seiten und wieder zurück. Es gilt also den Winkel zu ermittlen und dann weiter zu rechnen.
Die Kantenlänge s berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras: s = Wurzel (h² + 1/2 a²) der zweite Teil in der Formel ist die halbe Diagonale der Grundfläche ins Quadrat)
1. Pyramide: s= 55,78 m
Louvre: s= 32,88m
Der Winkel an der Spitze eines Dreiecks lässt sich mit dem Kosinussatz ausrechnen: cos gamma = (2s² -a²)/2s²
1. Pyramide: gamma = 36,57°
Louvre: gamma = 64,31°
Daraus folgt: 1. Pyramide: Der Spitzenwinkel aller vier Dreiecke ist delta = 146,27° Somit trifft das Bild des Netzes zu und der Weg mit mit nochmaliger Verwendung des Kosinussatzes berechnet:
weg= wurzel (2*s² - 2*s²cos delta)
weg = 106,76 m. Der Weg über die Spitze wäre 2 * 55,78 m = 111,58 m lang.
Hingegen für den Louvre(delta = 257,24°) führt der kurze Weg zur Spitze und zurück, ist also 65,76 m lang.