Serie-14

Aufgabe 7

Na da bin ich ja beruhigt, dass es bis zum nächsten Freitag, den 13. noch etwas dauert. Wie so dass denn, fragte Mike. Nun, ich war letzte Woche bei meiner Tante und im Gespräch sind wir auf die Aufgabe gekommen. Die wollte von diesem glückliche 13.10.2006 gar nichts wissen, denn da war die Temperaturanzeige an ihrem Babykostwärmer kaputt gegangen. So stand sie vor dem Problem, ohne Thermometer die richtige Temperatur der Milch für ihren Liebling hinzubekommen. Bis dahin hatte sie einfach die kalte Milch aus dem Kühlschrank genommen und auf 30 Grad erwärmt. Du meinst doch Celsius, na klar, der Mann, der sich uns ausdenkt, will bloß nicht immer Celsius schreiben. Aha. Wie hat sich denn deine Tante behelfen können, fragte Mike weiter. Hat sie einen neuen Babykostwärmer gekauft? Nein, hat sie nicht, war wohl auch zu teuer. Nun, sie hatte in der Anleitung gelesen, dass die Endtemperatur des Babykostwärmers bei 70 Grad liegt. Wenn sie also die Milch bis zum Abschalten des Geräts drinlässt, dann sind das 70 Grad. Der Kühlschrank war auf 6 Grad eingestellt. Ah, verstehe, meinte Mike. Wie, was verstehst du, fragte Bernd. Na ja mal angenommen, sie braucht genau 250 ml Milch, welche 30 Grad warm sein soll, dann kann sie doch mit einem Messbecher, die Milch abmessen, die sie aus kalter und heißer Milch mischen muss um die gewünschten 250 ml, die 30 °C heiß sein sollen, zu erhalten. (Eh, jetzt hat der doch °C geschrieben)
Wie mixt die Tante das nun zusammen? Zu erreichen sind bei physikalisch - mathematisch richtiger Rechnung 4 Punkte.

Sehr ausfürliche Lösung von Mike Pfaffe, danke:
Da wir die Wärmekapazität des Mischgefäßes nicht kennen, müssen wir annehmen, dass die von der warmen Milch abgegebene und die von der kalten Milch aufgenommene Wärme gleich sind.

Bezeichnet man nun die Größen der kalten Milch mit dem Index K und die der warmen mit dem Index W. so erhält man:

wobei die Mischungstemperatur ist. Vernachlässigt man die Ausdehnung der Milch bei Erwärmung, so erhält man:

Die Tante muss also ca. 156ml kalte und 94ml warme Milch mischen. Die Zerstörung der Illusion, es sein eine einfache Aufgabe gab XXX, danke:
Zunächst ist da ein verstecktes Problem, die Dichte! Wir sollen 250ml erwärmen, aber die Wärmekapazität geht über die Masse. Um das richtige Mischverhältnis anzugeben, muss man also die Dichte reinrechnen - oder aber die Messungen bei gleicher Dichte machen, sprich, vor dem Erwärmen messen! Beim Mischen gibt die warme Milch (proportional zu ihrer Masse und der Temperaturdifferenz von 40°) innere Energie ab, die kalte nimmt umgekehrt Innere auf, proportional zu deren Masse und der Differenz von 24°. Das Verhältnis von 40 : 24 = 5 : 3 muss sich nun umgekehrt in den Massen niederschlagen, also 5 : 3 für die kalte Milch.
Nehmen wir nun 250ml mal 5/8, also 156,25 ml Milch, die wir kühlschrankkalt lassen und 250ml mal 3/8, also 93,75 ml Milch, die wir auf 70° erwärmen, haben wir Milch, die sich genau auf 30° mischt. Wegen der Wärmeausdehnung aber etwas mehr als 250 ml. Dieses Bisschen kosten wir nun fürsorglich vor beim Abmessen und erhalten 250 ml angenehm warmer Milch.
Wer nur 156,25 ml kalte Milch mit 93,75 ml warmer mischt, bekommt wegen der höheren Dichte der kalten Milch eine zu geringe Temperatur - und auch das Volumen stimmt wohl nicht!
Wer 250ml kalte Milch im Verhältnis 5:3 teilt und drei Teile erwärmt, bekommt Milch richtiger Temperatur, wegen der Wärmeausdehnung aber zuviel!