Serie-25

Beitragsseiten

Seite 2 von 13


Aufgabe 2


290.  Wertungsaufgabe

„Ihr habt aber viele Murmeln gesammelt“, sagte Bernd zu Maria. „Stimmt und die sehen auch noch richtig schön aus.“ „Wie viele sind das denn?“ „Pass auf.“ Du Bernd könntest dir eine wegnehmen und dann ein Viertel der Verbliebenen. Danach kommt Mike, nimmt eine Murmel weg und anschließend ein Viertel. So verfahren auch Lisa und ich. Jetzt sind immer noch welche da, von denen wir eine beiseite legen und dann können wir vier uns den Rest gerecht teilen.“ „Insgesamt hat Bernd dann aber mehr als du.“ „Das stimmt, aber ihr könnt ausrechnen, wie viele Murmeln (mindestens) am Anfang da waren.“ - 6 blaue Punkte. Wie sieht die Mindestzahl auf dem Kugelhaufen aus, wenn es n Leute sind (n>1), die jeweils eine Kugel weglegen und vom verbleibenden Rest 1/n wegnehmen. Nachdem sich jeder so bedient hat, lässt sich, nach dem nochmaligen Weglegen einer Kugel der verbliebene Haufen gleichmäßig unter allen aufteilen. 6 rote Punkte

Lösung:
blau: die Aufgabe durch Probieren herauszubekommen war nicht gerade einfach, aber versucht wurde es doch. Da es zwischenzeitlich einen Newsletter gab, dass die kleinste Zahl etwas über 1000 liegt, gab es dann noch ein paar Lösungszuschriften mehr. Viele habe ide Aufgabe von hinten her aufgezäumt und dann systematisch probiert, zum Teil mittels Tabellenkalkulation. Das ist natürlich zulässig.
Hier die Überlegung: Bekommt am Ende jeder der 4 noch n Kugeln, dann waren es vor dem Verteilen und Weglegen 4n + 1 Kugeln. Das hatte Maria übrig gelassen, nach dem sie sich 1/4 genommen hatte, Es waren 3/4 des Haufens, also hatte Maria 4/3(4n +1) plus die eine Kugel vorgefunden: 4/3(4n+1)+1 war also die Situation von Lisa, die demzufolge vor dem Weglegen der einen Kugel 4/3(4/3(4n+1)+1)+1 vorgefunden hatte. Entsprechend für Mike 4/3(4/3(4/3(4n+1)+1)+1) +1 und damit zu Beginn für Bernd 4/3(4/3(4/3(4/3(4N+1)+1)+1) +1)+1. Durch den Faktor 4/3 ist die "Chance", dass da am Ende eine natürliche Zahl herauskommt oder auch zwischendurch nicht so groß. Ja beim systematischen Probieren findet man erst mit N = 80 die erste Lösung und somit als Kugelzahl am Anfang 1021. Schaut man sich den Probierausdruck an, so ist es ja so dass die 4 bei 4/3 von der Anzahl der 4 Leute (n)  kommt, die 3 um eins kleiner ist als die 4 und insgesamt 5 mal (also einmal mehr wie Leute ) geteilt wird. Mit etwas mehr oder weniger Spielerei erhält man nun die 1021 auch mit 45 - 3. Jede Anzahl von Kugeln mit m*45 - 3 (m - natürliche Zahl >0) liefert eine Lösung für die Aufgabenstellung:
rot: Ist die Anzahl der Leute n, wird vor jeder Teilung eine Kugel weggenommen und bei der Teilung wird 1/n genommen bzw. aufgeteilt, dann braucht man:
m(n(n+1) - (n-1) Kugeln. Die sehr ausführliche Herleitung inklusive des Beweises mittels vollständiger Induktion von mawi, wird zu einem späteren Zeitpunkt noch ergänzt, danke an mawi schon mal vorab. Mit m = 1 erhält man immer die Minimalzahl, wenn man für n= 2 davon ausgeht, dass es bei der letzten Teilung auch mal Null Kugeln sein dürfen, ansonsten nimmt man dort m = 2.