Serie-25

Aufgabe 6

"Hallo Lisa, wie ich sehe hast du dir das magische Quadrat von Albrecht Dürer in deine 16 Felder eingetragen."
"Stimmt genau. In unserer Gruppe werden wir nächste Woche dieses 4 x 4 Quadrat genau untersuchen. Es ist fantastisch, welche der 2 x 2 Teilquadrate man auch untersucht, es kommt als Summe immer 34 heraus."  Mike schaut noch mal ganz genau hin und meint. "Na bei allen stimmt das aber nicht." "Du hast Recht." Wie viele solche  2 x 2 Quadrate gibt es und warum muss die Summe 34 sein? (2 + 3 blaue Punkte). Für 5 blaue Punkte ist ein "perfektes" 4 x 4 Quadrat zu finden. Das heißt, alle bildbaren Teilquadrate haben die gleiche Summe 34.

Lösung:

blau: Es gibt insgesamt neun 2 x 2 Quadrate. Drei lassen sich finden, wenn man die oberste und zweite Zeile nimmt, dann drei aus zweiter und dritter Zeile. Dazu kommen noch drei in dritter mit vierten Zeile kombiniert. Allerdings sind es "nur" 5 bei denen die geforderte Summe 34 herauskommt. Warum nun 34?

Addiert man die Zahlen von 1 bis 16, so ergiebt sich 136. Soll in allen Zeilen die gleiche Summe herauskommen, so ergibt das für jede Zeile 34. Die Summe von vier Zahlen sollte also 34 sein. Noch mal gezeigt für den Fall alle 2 x 2 Quadrate in der Summe gleich, dann gilt diese natürlich auch, in den die 2 x 2 Quadrate nebeneineinander liegen. Somit umfassen solche zwei 2 x 2-Quadrate genau die 8 Zahlen zweier Zeilen, deren Summe ja 2 x 34 = 68 (Zeilensummen) muss. Somit bleibt für die Quadrate jeweils 34.

rot: Das perfekte Quadrat musste laut Aufgabenstellung nicht notwendigerweise magisch sein und so gab es eine Reihe von Lösungen, bei denen alle Teilquadrate die 34 aufwiesen - ohne magisch zu sein. Das war in Ordnung. Magische Quadrate, die die geforderte Bedingung erfüllen, gibt es auch. Echt verschieden - im Sinne der nächsten Aufgabe - sind genau 48 mag. Quadrate, die die Bedingung erfüllen.

Ein ganz besonders davon ist:

Es ist magisch und alle Teilquadrate ergeben 34. Aber schneidet man man dieses Quadrat aus, dann kann man aus diesem Papierstück auf zwei Arten einen Zylinder formen. Und auch hier hat jedes Teilquadrat die Summe 34, egal wie man hinschaut - ist doch cool, oder?