Serie-25
Beitragsseiten
Aufgabe 8
296. Wertungsaufgabe:
"Bei den magischen Quadraten gibt es noch viel zu entdecken", sagte Bernds Opa, als die vier Freunde ihm von der letzten Aufgabe erzählten. "Schaut mal her, ich schreibe die natürlichen Zahlen etwas pyramidenförmig auf."
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
"Und so weiter. Wenn ich jetzt an einer Stelle quer durch die Pyramide einen senkrechten Strich ziehe, so ist die Summe der vor dem Strich stehenden Zahlen immer genau so groß wie die Summe der Zahlen hinter dem Strich und das Zeile für Zeile." Wo muss der Strich hin (3 blaue Punkte -Rechnung nicht vergessen-) und warum funktioniert das (6 rote Punkte)?
Lösung:
Blau. Der gesuchte Strich verläuft nach der 2 bzw. 6; 12 ...
Als Summen ergeben sich: 1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8 = 15
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 = 42
16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 = 90 ...
|
0 |
|
|
|
|
|
0 | |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 | |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
5 |
6 | |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12| |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
4 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20| |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
... |
|
|
|
n² + (n - 1) |
n² + n | |
n² + (n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die n-te Zeile beginnt mit n².
Behauptet wird, dass die Summe von n² bis (n² + n) genau so groß ist wie die Summe von (n² + (n+1)) bis (n² + 2n).
Linke Seite: n² + (n² + 1) + ... + (n² + n) ==> n² + n * n² + (1 + 2 + ... + n) ==> n³ + n² + (1 + 2 + ... + n)
Rechte Seite (n² + (n+1)) + (n² + (n+2)) + ... + (n² + 2n) ==> n * n² + n * n + (1 + 2 + ... + n) ==> n³ + n² + (1 + 2 + ... + n)
Die Summen links und rechts des Striches sind also gleich.