Serie-25

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Aufgabe 5



293. Wertungsaufgabe

"Na, den komischen Fehler auf den Marken zu finden, war ja nicht so schwer, wenn man einmal erkannt hat, dass es sich um die Primzahlzerlegung handelte", meinte Lisa. "Das ist schon richtig, aber trotzdem muss man darauf kommen. Ich habe auch noch ein kleines Primzahlrätsel." "Lass hören."
"Gesucht sind Paare von Primzahlen, deren Differenz eine zweistellige Primzahl ist. Zu finden sind alle Paare von Primzahlen, wobei die Differenz kleiner als 30 sein soll?" 4 blaue Punkte
"Aber pass mal auf, ob du dieses verblüffende Primzahlrätsel auch lösen kannst. Es sind alle Zahlen zu untersuchen, deren Ziffern alle verschieden sind -- wobei die Null nicht vorkommen soll." "Da gibt es doch unheimlich viele." "Man kann diese aber systematisch finden, mittels Permutation, also so zum Beispiel die 137, dann gibt es noch die 173, 317, 371, 713 und 731." "Ja, ich erinnere mich, aber wie lautet denn nun die Aufgabe?" "Es ist die größte Zahl zu finden, bei der alle Permutationen  eine Primzahl darstellen. Bei meinem Beispiel sind drei der Zahlen Primzahlen, drei aber eben auch nicht. Das Ergebnis wird dich überraschen." 8 rote Punkte

Lösung:
Bei der blauen Aufgabe haben sich einige etwas schwer getan oder auch was vergessen, weil der Text nicht genau gelesen wurde, aber okay.
Wenn die Differenz zweier Primzahlen eine zweistellige Primzahl sein soll, muss eine der Primzahlen die 2 sein. Bei allen anderen Primzahlen ergibt sich ja eine gerade Zahl als Differnz und somit keine Primzahl. Zweistellige Primzahlzahldifferenzen kleiner als 30 könnten sein 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Das ergäbe die Paare:
(2; 13), (2; 15), (2; 19), (2;25) und (2;31). Davon sind allerdings nur diese Primzahlpaare: (2; 13), (2; 19) und (2;31).
Rot. Hier möchte ich den von XXX geschriebenen Dialog als Lösung anbieten, danke sehr.:

„Also Mike“, sagte Bernd, „das mit den großen Zahlen, die Primzahlen sind oder nicht, und dann noch permutiert, da sollten wir uns einen schnellen Rechner suchen!“ Und Mike rechnet mit: „Die größte Zahl ist 987654321 und deren Ziffern haben 9! (Fakultät) Permutationen der Reihenfolge. Ich mag so große Zahlen nicht teilen!“

„Okay!“ grinst Bernd, „bei der Größten helfe ich dir, die hat Quersumme 45 und ist damit eine Neunerzahl! Schon 9! Probleme gelöst!“

Mike: „Nun mal systematisch: Welche Teilbarkeitsregeln kennen wir? Da sind die Teiler der Stufenzahl, der 10. Zweier- und Fünferzahlen erkennen wir an der letzten Stelle.“ „Ja“, meint Bernd, „und durchs Permutieren kommt jede Ziffer mal nach hinten, wir können also alle Zahlen weglassen mit einer geraden Ziffer oder mit einer 5.“ Da ist Mike aber erleichtert: „9731 statt 987654321 als größte Zahl, da sind wir gut voran gekommen.“ „Aber mit der Quersumme geht nun nur noch die 93 und die 39 zu knacken. Oder gibt es noch weitere Teilbarkeitsregeln? Opa kennt da sicher ein paar alte Tricks.“

„Eine Quersummenregel gibt es für die Teiler der Zahlen neben der Stufenzahl, und zwar die normale Quersumme für die Zahl davor, bei unserem Zehnersystem also für die 9.“ „Im Sechzehnersystem für die 5, weil sie die 15 teilt?“ fragt Bernd erstaunt. „Ja! Und für die Zahl nach der Stufenzahl, also unsere 11 gibt es die alternierende Quersummenregel, also einmal zuzählen, einmal abziehen.“ „Warum denn das?“ fragt Mike. „11 ist 1 mehr als 10, 99 ist 1 weniger als 100, 1001 wieder 1 mehr, usw …“ „ Nicht so allgemein! Bei den vierstelligen Zahlen zähle ich die 1. und 3. Ziffer zusammen und ebenfalls die 2. und 4. Wenn die Summen gleich sind [oder sich um 11 unterscheiden] ist es eine Elferzahl?“ „Ja! 9731 haben wir noch:
9 + 1 = 7 + 3 = 10. Dann sind 9713, 9317, 7931, 7139 alles Elferzahlen?“ „Claro – und rückwärts gelesen auch.“

„Mensch!“ ruft Mike, „mit der einen Beobachtung sind nun alle vierstelligen Zahlen auch noch weg, dann ist die Größte ja nur dreistellig!“ „Wie heißt denn die vereinfachte Elferregel für dreistellige Zahlen?“ fragt Bernd. „Wir haben das so gelernt“, sagt Opa: „Elferzahlen, da ist die mittlere Ziffer Summe der äußeren wie bei 253 = 11*23 oder die beiden äußeren sind um 11 größer als die mittlere wie bei 407 = 11*37.“ „Da finde ich nur noch die 913 mit 9+3 = 1+11.“

„Toll wie das mit den Teilbarkeitsregeln ging. Die fehlenden dreistelligen Zahlen 973, 971 und 731 schaffen wir jetzt auch ohne Regeln.“ „Die kleinste Primzahl, die wir noch nicht getestet haben, ist die 7. Da kann man auch Regeln basteln, aber für unsere kleinen Zahlen bringt das nichts mehr!“ Und Opa hat noch einen letzten Tipp: „Mit euren Teilbarkeitsregeln für 2, 3 und 5 könnt ihr bis 100 jede Zahl zerlegen außer 49 = 7*7, 77 = 7*11 und 91 = 7*13. Jetzt reicht euer Handwerkzeug aber …“

Mike zeigt gleich, dass er gut zugehört hat:

„Wenn 91 eine Siebenerzahl ist, dann auch 910 + 7 = 917. Wieder eine weg!“ Bernd legt sofort nach: „Nimm statt 910 die 903 und finde 903+70 = 973.“

„Die letzte Dreistellige, die 731 erwähnt Thomas ja schon, also 713 = 690 + 23 = 31*23 noch der Vollständigkeit halber aufgeschrieben.“

Die größte Zweistellige von den untersuchen Zahlen tut es nun aber doch noch! 97 und 79 sind Primzahlen!