Serie-29

Aufgabe 8

344. Wertungsaufgabe

Aufgabe 344
Lisa zeichnet und rechnet mit Quadern. Maria hat in einem Mathematikbuch gelesen, dass von allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel (mit dem gleichen Volumen wie die Quader) die kleinste Oberfläche aller solcher Quader hat. Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels, der ein Volumen von 8 m³ hat? (4 blaue Punkte).  Welche Abmessungen sollte ein „oben offener“ Quader haben (V = 8 m³), so dass die fünf Flächen eine möglichst kleine Oberfläche aufweisen – eine Variante aufzuschreiben reicht. (5 rote Punkte)

Lösung bis zum 26.1.2012, Deadline of solution 2012-01-26

english version

problem 344
Lisa draws and calculates cuboids. Maria read in her Maths book that of all cuboids with an equal volume the cube has the smallest surface area. How big is the surface area of a cube that has a volume of 8 m³? - 4 blue points
What measurements does an open cuboid of 8 m³ have (a box without a "lid"), so that the combined surface area of the five remaining faces is minimal? - One solution - 5 red points

Lösung/solution:

blau: Wenn das Volumen des Würfels 8 m³ groß ist, so mittels Wurzelziehen (3. Wurzel) oder etwas probieren die Kantenlänge des Würfels schnell gefunden. Die Oberfläche beträgt dann  6 * 2 m * 2 m = 24 m².

rot: Die mögliche schnelle - wie ich finde - geniale Überlegung ist die: Man nehme einen Würfel nicht von 8 m³, sondern mit 16 m³ Volumen. Kleiner geht dessen Oberfläche nicht. Schneidet man nun diesen Würfel "in der Mitte durch", erhält man zwei Quader die an einer Seite "offen" sind, je 8 m³ Volumen haben und der Oberfläche kleiner nicht sein kann. :-)

Zwei verschiedene Wege zur Lösung zeigen die Varianten von Jürgen U. und Zach M., danke

--> Lösung (deutsch) <-- --> english solution <--