Serie-21

Aufgabe 11

"Siebenundzwanzig Gänge hast du also nicht wirklich an deinem Fahrrad," bemerkte Maria. "Ja, ja, du hast ja Recht", antwortete Mike. "Da sich die Sportserie dem Ende nähert, möchte ich mich noch einmal mit einem Spielfeld, dem Baseballfeld beschäftigen." "Na, dann mal los".
"Die Maße des Feldes sind nicht einheitlich und so verwende ich hier gerundete Meterangaben. Das Quadrat hat eine Kantenlänge von 27,5 m. Dieses befindet sich in einem Viertelkreis mit einem Radius von 39 m. Von H nach B sind es 97 m. A; B und I bilden einen Kreisausschnitt mit einem Radius von 121 m."
Wie groß (in m²) ist der grau gezeichnete Teil? - 4 blaue Punkte. Wie groß  (in m²) ist das eigentliche Spielfeld? 5 rote Punkte (Anmerkung: Das Spielfeld ist die Fläche AHB)

Lösung

blau: Der graue Teil ergibt sich aus der der Differenz der Flächeninhalte des Viertelkreises (Radius von 39 m) und des Quadrates (a = 27,5 m).
A = π· r² / 4 - a² = ... = 438,34 m²
rot: Die gesuchte Spielfläche ist gleich der Differenz des Kreisausschnittes IAB und den Flächeninhalten der beiden Dreiecke IHB bzw. IHA.
AB ist die Diagonale des halben Quadrates AHBY (Y ist nicht eingezeichnet, wäre der Bildpunkt von H bei der Spiegelung an AB)
AX = XH = 1/2 · AB (Alles Eigenschaften des Quadrates AHBY)
AX = 1/2 · Wurzel (2) · AH = 1/2 · Wurzel (2) · 97 m
AX = 68,6 m
IX = √AI² - AX² = √121² - 68,6² = 99,68 m ==> HI = 30,1 m
∠ AIB lässt sich mittels Kosinussatz ausrechnen.
cos AIB = 2 · 121² - 137,2² /(2 · 121²) ==> ∠ AIB = 69,1°
Die Fläche des Kreisausschnittes AIB ergibt sich aus 69,1°/360° · π · 121² ==> 8828,69 m²
Das Flächeninhalt des Dreiecks HIB lässt mit 0,5 · HI · BI · ∠ (HIB) berechnen. ==> 1032,76 m²
Der gesuchte Flächeninhalt ist demzufolge 8825,4 m²- 2 · 1032,76 m² = 6759,87 m²
Durch die vielen Rundungen in dem Zwischenrechnungen kann es durchaus zu Abweichungen bei den Ergebnissen kommen. (Packt man alles in eine Formel liegt der Wert bei rund 6692 m² ;-)