Serie-21

Aufgabe 3

"Wenn ich mir die Siegerehrungen so anschaue, so bin ich immer wieder verblüfft wie viele Varianten von Siegerpodesten es gibt," meinte Mike. "Da hast du Recht. Es gibt runde, längliche, welche aus Holz, aus Metall usw.," erinnerte sich Maria, als sie an die letzten Olympischen Spiele dachte. Auf dem Bild ist ein recht einfaches zu sehen. Die Flächen oben sind quadratisch (40 x 40 cm). Die Höhe liegen bei 20, 40 bzw. 60 cm. Wie groß sind Oberfläche und Volumen dieses Podestes? (5 blaue Punkte).
"Schaut mal meine Skizze an. Ich habe aus den Quadraten möglichst große regelmäßige Achtecke gemacht. So gefällt mir das Siegerpodest besser," sagte Lisa. "Nicht schlecht", staunte Bernd. Wie groß sind Oberfläche und Volumen dieses Podestes? (5 rote Punkte).

Lösung

Die blaue Aufgabe:
Oberfläche: Hier bietet sich ein "Flug" um das Podest an.
Von oben und unten ist letztlich jeweils ein Rechteck zu sehen (40 x 120) x 2 = 9600 cm².
Von links und rechts ist letztlich jeweils ein Rechteck zu sehen (40 x 60) x2 = 4800 cm².
Von vorn und hinten ist letztlich jeweils ein Rechteck zu sehen, wenn man einfach den Platz 3 auf den Platz 2 "stellt" (80 x 60) x 2 = 9600 cm².
Das sind zusammen 24000 cm² bzw. 2,4 m².
Beim Volumen ist auch das "Stellen" von Platz 3 auf 2. angebracht. Dann hat man einen Quader V = a x b x c = 80 cm x 40 cm x 60 cm = 192000 cm³ = 0,192 m².
Die rote Aufgabe:
Zuerst wird die Kantenlänge s der Achtecke gebraucht. Von den 40 cm des Quadrates müssen zwei Stücke der Länge x abgeschnitten werden.
s = 40 - 2x
x = (40 - s)/2 An den Ecken ist aber auch der Satz des Pythagoras anwendbar s² = x² + x² = 2x²
Die obige Formel wird in die zweite eingesetzt.
s² = 2* ((40 - s)/2)²
...
s² = 800 - 40s s²/2
...
0 = s² + 80 - 1600
s _1,2 = - 40 ± Wurzel ((1600 + 1600))
negatives Ergebnis entfällt.
s = 16,5685425 cm ≈ 16,57 cm.
Aus der allgemeinen Flächeninhaltsformel für regelmäße n-Ecke (n > 2)lässt sich das Achteck schnell finden. (a - Seitenlänge)
Die Herleitung ist mittels Inkreisradius, Satz des Pythagoras und Tangens relativ einfach.
Das a in der Formel ist das oben ausgerechnete s.
A = 1325,48 cm²
Volumen (Stellen" von Platz 3 auf 2) ⇒ V = 2 · A · h = 2 · 1325,48 cm² · 60 cm = 159058 cm³ = 0,159 m³
Interessant wird nun wieder die Oberfläche. Oben und unten zusammen sind das 6 Achtecke - kein Problem.
Nun die Rechtecke: Platz zwei 7 Rechtecke (40 cm hoch) Platz drei 7 Rechtecke (20 cm hoch) ⇒ 7 Rechtecke (60 cm hoch)
Platz eins 6 Rechtecke (60 cm hoch) + links 1 Rechteck 20 cm + rechts 1 Rechteck 40 cm ⇒ 7 Rechtecke (60 cm hoch)
Alles zusammen A_O = 6 · A + 14 · s · h = 6 · 1325,48 cm² + 14 · 16,57 cm · 60 cm = 21871,7 cm² = 2,18 m²