Serie-21

Aufgabe 8

"Nachdem wir die Zahlen auf der Dartscheibe unter die Lupe genommen haben, könnten wir ja mal noch die Scheibe geometrisch untersuchen", meinte Mike. "Na dann mach mal einen Vorschlag." "Damit die unterschiedlich großen Drahtstärken nicht die Berechnung verkomplizieren, soll nach den Innenmaßen (s. Aufgabe 247) sofort das nächste Feld beginnen, analog gilt das für die Außenmaßangaben. Wie groß ist der prozentuale Anteil von Feldern (bezogen auf die  Fläche der gesamten Scheibe, wo eine durch 5 teilbare Punktzahl erreicht werden kann." "Oh das ist aber nicht ganz einfach", gab Maria zu bedenken. "Ich denke aber, dass es trotzdem möglich ist, dass eure Spezialgruppe dies herausbekommt". 8 blaue Punkte.
"Ich habe mir mal die Verdopplungs- und Verdreifachungsbereiche angeschaut und finde, so ganz gerecht ist das nicht," sagte Lisa. "Wie meinst du das?", fragte Bernd zurück. "Na, schau mal, die Felder für die einfache Punktzahl sind einfach zu groß. Wenn sich die Punkte eines Sektors (z.B. für die 20) wie 1:2:3 verhalten, so sollten sich die Trefferflächen wie 3:2:1 verhalten." "Das würde ich auch gut finden", bemerkte Maria. Wie würde die Geometrie eines Sektors aussehen, wenn die geforderte Gerechtigkeit durch die Veränderung der Double- und Triple-Ring (Innenmaß), aber nicht durch die Veränderung der sonstigen Abmessungen erreicht werden soll. 8 rote Punkte.

Lösung

blaue Aufgabe: Durch 5 teilbar sind alle Sektoren, in denen die Zahlen 5, 10, 15 und 20 vorkommen, inklusive der darin enthaltenen Triple und Double. Hinzu kommen Inner- und Outerbull. Alle anderen Sektoren entfallen, da diese Grundzahlen enthalten, die nicht durch 5 teilbar sind und die Verdopplung bzw. Verdreifachung bringt keine Teilbarkeit durch 5.
Die Sektorenfläche ist 1/5 aller Sektoren (Sektoren im Sinne eines Kreisringes um die Bulls).
1/5 · π · (r_a² -r_i²) = 1/5 · π · (170² mm² - 15,9 ² mm²) = 17999,5 mm²
zu diesem Werte kommt noch die Gesamtfläche der Bulls. π · r_i² = 794,2 mm²
Die durch 5 teilbare Fläche ist insgesamt 18793,78 groß. Die Fläche der gesamten Scheibe ergibt sich aus: π · r_a²
Der Anteil ist dann elementar berechenbar und und liegt bei 20,69 %.
rote Aufgabe. Hier ist die Aufgabenstellung möglicherweise nicht ganz eindeutig. Deshalb wird hier so vorgegangen.:
Bulls bleiben. Damit ist die einzuteilende Fläche der Kreisring um das Bull.
π · (r_a² -r_i²)
π · (170² mm² - 15,9 ² mm²)
89997,8 mm²
Diese Fläche muss so einteilt werden, dass Trebble : Double : einfach = 1 : 2 : 3 gilt. Das lässt sich auch als 1/6 : 2/6 : 3/6 schreiben.
14999,6 : 29999,26 : 44998,9
Double liegt außen ==> 29999,26 mm² = π (r_a² - r_t²) = π (170² mm² - r_d²)
Die Gleichung lässt sich leicht nach r_d (r_d Abstand bis zum Doublering) auflösen. r_d = 139,1 m, d.h. der Doublering müsste (170 - 139,1) 30,9 mm breit sein.
Der äußere Ring des Treble hat einen Abstand von 107 mm zum Bull und damit einen r_a von 107 mm.
14999,6 mm² = π (r_a² - r_d²) = π (107² mm² - r_t²)
(r_t Abstand bis zum Treblelering)
r_t = Wurzel ((π107² - 14999,6)/π) = 81, 69 mm ==> der Treblering müsste (107 - 81,7) 25,3 mm breit sein.
Anmerkung: Man kann natürlich auch noch die Bullflächen anpassen, so dass dort die Gerechtigkeit für die 50 bzw. 25 Punkte herrschen.